Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o volume de um tetraedro limitado por quatro planos específicos. Estamos lidando com geometria analítica e cálculo, especialmente integração para encontrar volumes. Vamos precisar entender como esses planos se interceptam para formar o tetraedro e, a partir daí, calcular o volume usando integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações dos planos que formam o tetraedro:
  1. (plano yz)
  2. (plano xy)
Vamos encontrar os pontos de interseção desses planos para determinar os vértices do tetraedro.

Passo 3

Vamos encontrar os vértices do tetraedro resolvendo as equações dos planos dois a dois:
  • Vértice A: Interseção dos planos , e .
    Substituindo na equação , temos .
    Portanto, , , . Então, A = (0, 0, 0).
  • Vértice B: Interseção dos planos , e .
    Substituindo e na última equação:
    .
    Então, , . B = (1, 0,5, 0).
  • Vértice C: Interseção dos planos , e .
    Com e :
    . C = (0, 1, 0).
  • Vértice D: Interseção dos planos , e .
    Já vimos que isso dá B = (1, 0,5, 0). Parece que faltou outro vértice. Vamos considerar a interseção dos planos , e .
    Substituindo na equação .
    Para encontrar , precisamos de mais uma condição, mas como já temos , parece que o tetraedro é formado pelos pontos A, B, C e D onde D coincide com outro ponto. Para simplificar, vamos visualizar que o tetraedro tem como vértices A, B, C e um ponto onde não é zero. Vamos resolver para .
    Considerando e :
    Substituindo : .
    Se , . Então, D = (0, 0, 2).

Passo 4

Agora que temos os vértices A(0, 0, 0), B(1, 0,5, 0), C(0, 1, 0) e D(0, 0, 2), podemos calcular o volume do tetraedro usando a fórmula do determinante:
Primeiro, vamos encontrar os vetores AB, AC e AD:

Passo 5

Vamos montar a matriz com esses vetores e calcular o determinante:
O determinante dessa matriz é:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do volume:

Resposta

O volume do tetraedro é unidades cúbicas.

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Resposta: 8
Calcule a integral dupla da função na região
e .
Resposta: 3,375