Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o volume de um tetraedro limitado por quatro planos específicos. Estamos lidando com geometria analítica e cálculo, especialmente integração para encontrar volumes. Vamos precisar entender como esses planos se interceptam para formar o tetraedro e, a partir daí, calcular o volume usando integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações dos planos que formam o tetraedro:
(plano yz)
(plano xy)
Vamos encontrar os pontos de interseção desses planos para determinar os vértices do tetraedro.
Passo 3
Vamos encontrar os vértices do tetraedro resolvendo as equações dos planos dois a dois:
Vértice A: Interseção dos planos , e .
Substituindo na equação , temos ⇒ .
Portanto, , , . Então, A = (0, 0, 0).
Vértice B: Interseção dos planos , e .
Substituindo e na última equação:
⇒ ⇒ .
Então, , . B = (1, 0,5, 0).
Vértice C: Interseção dos planos , e .
Com e :
⇒ . C = (0, 1, 0).
Vértice D: Interseção dos planos , e .
Já vimos que isso dá B = (1, 0,5, 0). Parece que faltou outro vértice. Vamos considerar a interseção dos planos , e .
Substituindo na equação ⇒ .
Para encontrar , precisamos de mais uma condição, mas como já temos , parece que o tetraedro é formado pelos pontos A, B, C e D onde D coincide com outro ponto. Para simplificar, vamos visualizar que o tetraedro tem como vértices A, B, C e um ponto onde não é zero. Vamos resolver para .
Considerando e :
Substituindo : ⇒ .
Se , . Então, D = (0, 0, 2).
Passo 4
Agora que temos os vértices A(0, 0, 0), B(1, 0,5, 0), C(0, 1, 0) e D(0, 0, 2), podemos calcular o volume do tetraedro usando a fórmula do determinante:
Primeiro, vamos encontrar os vetores AB, AC e AD:
Passo 5
Vamos montar a matriz com esses vetores e calcular o determinante: