, onde
é dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde a curva
é descrita pela parametrização
para
entre 0 e 3. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, calcular a diferencial de arco
e então montar e calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar as coordenadas
e
em termos do parâmetro
. Pela parametrização dada:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
, que são necessárias para encontrar a diferencial de arco
:
Passo 4
A diferencial de arco
em termos de
é dada por:
Isso nos dá a maneira de expressar
em termos do parâmetro
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Substituindo na integral:
Integrando:
Essa é a forma exata da integral. Se precisar de uma aproximação numérica, podemos calcular
.
Resposta
A integral vale
.
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Calcule a integral dupla
, sendo que
é a região circular
Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros:
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