, onde é dada por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde a curva é descrita pela parametrização para entre 0 e 3. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, calcular a diferencial de arco e então montar e calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar as coordenadas e em termos do parâmetro . Pela parametrização dada:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a , que são necessárias para encontrar a diferencial de arco :

Passo 4

A diferencial de arco em termos de é dada por:
Isso nos dá a maneira de expressar em termos do parâmetro .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Substituindo na integral:
Integrando:
Essa é a forma exata da integral. Se precisar de uma aproximação numérica, podemos calcular .

Resposta

A integral vale .

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Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros:
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