integralC x y d s, onde C é dada por gamma(t)=(t^4, t) 0 <= t <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC x y , d s, onde a curva C é descrita pela parametrização gamma(t) = (t^4, t) para t entre 0 e 3. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, calcular a diferencial de arco ds e então montar e calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar as coordenadas x e y em termos do parâmetro t. Pela parametrização dada:
x(t) = t^4 e y(t) = t

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de x e y em relação a t, que são necessárias para encontrar a diferencial de arco ds:
dxdt = 4t^3 e dydt = 1

Passo 4

A diferencial de arco ds em termos de t é dada por:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz(4t^3)^2 + (1)^2 , dt = raiz16t^6 + 1 , dt
Isso nos dá a maneira de expressar ds em termos do parâmetro t.

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integralC x y , ds = integral0^3 x(t) cdot y(t) cdot raiz16t^6 + 1 , dt = integral0^3 t^4 cdot t cdot raiz16t^6 + 1 , dt = integral0^3 t^5 raiz16t^6 + 1 , dt
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = 16t^6 + 1 Rightarrow dudt = 96t^5 Rightarrow t^5 dt = du96
Substituindo na integral:
integral0^3 t^5 raiz16t^6 + 1 , dt = 196 integralu(0)^u(3) raizu , du = 196 integral1^11665 u^1/2 , du
Integrando:
196 cdot 23 [ u^3/2 ]1^11665 = 1144 (11665^3/2 - 1)
Essa é a forma exata da integral. Se precisar de uma aproximação numérica, podemos calcular 11665^3/2.

Resposta

A integral vale .

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