Calcule a integral dupla.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral dupla e entendimento de como determinar os limites de integração para a região dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela está limitada entre
e
. Para cada valor de
nesse intervalo,
varia de
a
. Isso significa que, para configurar a integral dupla, integraremos primeiro em
de
a
e depois em
de
a
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla com esses limites:
A função a ser integrada é
, que é uma função simples para integrar em relação a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Essa é uma integral em relação a
que também podemos resolver.
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Podemos usar a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Multiplicando por 2:
Passo 7
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Sabemos que
e
, então substituindo:
Resposta
A integral dupla vale
.