Calcule a integral dupla. integral duplaD 1x d A, D=(x, y) mid 1 <= y <= e, y^2 <= x <= y^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla integral duplaD 1x , dA, onde a região D é definida por 1 <= y <= e e y^2 <= x <= y^4. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral dupla e entendimento de como determinar os limites de integração para a região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. Ela está limitada entre y = 1 e y = e. Para cada valor de y nesse intervalo, x varia de y^2 a y^4. Isso significa que, para configurar a integral dupla, integraremos primeiro em x de y^2 a y^4 e depois em y de 1 a e.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla com esses limites:
integraly=1^y=e integralx=y^2^x=y^4 1x , dx , dy
A função a ser integrada é 1x, que é uma função simples para integrar em relação a x.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a x:
integralx=y^2^x=y^4 1x , dx = [ ln|x| ]y^2^y^4 = ln(y^4) - ln(y^2)
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
ln(y^4) - ln(y^2) = 4ln(y) - 2ln(y) = 2ln(y)

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^e 2ln(y) , dy
Essa é uma integral em relação a y que também podemos resolver.

Passo 6

Vamos resolver a integral integral 2ln(y) , dy. Podemos usar a técnica de integração por partes, onde:
u = ln(y) Rightarrow du = 1y , dy
dv = dy Rightarrow v = y
Aplicando a integração por partes:
integral ln(y) , dy = yln(y) - integral y cdot 1y , dy = yln(y) - integral 1 , dy = yln(y) - y + C
Multiplicando por 2:
2ln(y) = 2yln(y) - 2y

Passo 7

Agora, avaliamos essa expressão de y = 1 a y = e:
[ 2yln(y) - 2y ]1^e = (2eln(e) - 2e) - (2 cdot 1 cdot ln(1) - 2 cdot 1)
Sabemos que ln(e) = 1 e ln(1) = 0, então substituindo:
= (2e cdot 1 - 2e) - (0 - 2) = (2e - 2e) - (-2) = 0 + 2 = 2

Resposta

A integral dupla vale 2.

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