Calcule a integral dupla. Limitada pelo cilindro y^2 + z^2 = 9 e pelos planos y = 3 x, y=0, z=0 no primeiro octante

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla que está limitada por um cilindro dado pela equação e pelos planos , e no primeiro octante. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais duplas, limites de integração e geometria espacial. Vamos precisar entender como definir a região de integração e escolher a melhor ordem para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos integrando. O cilindro é um cilindro circular com raio 3, alinhado no eixo . Os planos , e nos restringem ao primeiro octante, onde , e são positivos. Então, estamos basicamente olhando para uma parte do cilindro no primeiro octante.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos trabalhando no primeiro octante e o cilindro está alinhado no eixo , é mais fácil integrar em relação a e , mantendo como a variável externa.
  • Para , como e no cilindro vai até 3 (raio do cilindro), varia de 0 a , mas precisamos ajustar isso.
  • Para , vai de 0 a 3, porque o raio do cilindro em é 3.
  • Para , dado por até , que é a parte superior do cilindro.

Passo 4

Vamos montar a integral dupla para calcular o volume dessa região. A integral será integrada primeiro em e depois em :
Dentro dessa integral, está limitado por e , mas como estamos calculando o volume no espaço tridimensional, multiplicamos pela função , que nesse caso é simplesmente .

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . Alterando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
A integral se transforma em:
Integrando :
Aplicando os limites:

Resposta

O volume da região limitada é 3 unidades cúbicas.

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