Calcule a integral dupla. Limitada pelo cilindro
e pelos planos
,
no primeiro octante
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla que está limitada por um cilindro dado pela equação
e pelos planos
,
e
no primeiro octante. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais duplas, limites de integração e geometria espacial. Vamos precisar entender como definir a região de integração e escolher a melhor ordem para integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos integrando. O cilindro
é um cilindro circular com raio 3, alinhado no eixo
. Os planos
,
e
nos restringem ao primeiro octante, onde
,
e
são positivos. Então, estamos basicamente olhando para uma parte do cilindro no primeiro octante.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos trabalhando no primeiro octante e o cilindro está alinhado no eixo
, é mais fácil integrar em relação a
e
, mantendo
como a variável externa.
- Para
, como e no cilindro vai até 3 (raio do cilindro), varia de 0 a , mas precisamos ajustar isso. - Para
, vai de 0 a 3, porque o raio do cilindro em é 3. - Para
, dado por até , que é a parte superior do cilindro.
Passo 4
Vamos montar a integral dupla para calcular o volume dessa região. A integral será integrada primeiro em
e depois em
:
Dentro dessa integral,
está limitado por
e
, mas como estamos calculando o volume no espaço tridimensional, multiplicamos pela função
, que nesse caso é simplesmente
.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Fazendo uma substituição
, então
, ou seja,
. Alterando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
A integral se transforma em:
Integrando
:
Aplicando os limites:
Resposta
O volume da região limitada é 3 unidades cúbicas.