Calcule a integral dupla. integral duplaD(3 x+y) d A,
D=(x, y) mid pi / 6 <= x <= pi / 4, sen x <= y <= cos x

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaD(3x + y) , dA. Aqui estamos lidando com integrais duplas, e vamos precisar definir corretamente os limites de integração para a região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região pi6 <= x <= pi4 e sin x <= y <= cos x :
Isso significa que varia entre e , e para cada valor de , varia entre e .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla com esses limites:
integralpi/6^pi/4 integralsin x^cos x (3x + y) , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integralsin x^cos x (3x + y) , dy = 3x(y)gr|sin x^cos x + 12y^2gr|sin x^cos x :
= 3x(cos x - sin x) + 12(cos^2 x - sin^2 x)
3x(cos x - sin x) + 12cos(2x)
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, integraremos em relação a integralpi/6^pi/4 [3x(cos x - sin x) + 12cos(2x)] dx :
integral 3xcos x , dx e integral -3xsin x , dx e integral 12cos(2x) , dx
Para resolver essa integral, vamos integrar cada termo separadamente:
6 pi raiz2 - 2 pi - 2 pi raiz3 + 14 - 13 raiz38
Usando integração por partes e as identidades trigonométricas apropriadas, obtemos:

Resposta

O valor da integral dupla é:
6 pi raiz2 - 2 pi - 2 pi raiz3 + 14 - 13 raiz38

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