Vamos calcular a integral dupla . Aqui estamos lidando com integrais duplas, e vamos precisar definir corretamente os limites de integração para a região .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região :
Isso significa que varia entre e , e para cada valor de , varia entre e .
Passo 3
Agora, vamos montar a integral dupla com esses limites:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a :
3x(cos x - sin x) + 12cos(2x)
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, integraremos em relação a integralpi/6^pi/4 [3x(cos x - sin x) + 12cos(2x)] dx :
integral 3xcos x , dx e integral -3xsin x , dx e integral 12cos(2x) , dx
Para resolver essa integral, vamos integrar cada termo separadamente:
6 pi raiz2 - 2 pi - 2 pi raiz3 + 14 - 13 raiz38
Usando integração por partes e as identidades trigonométricas apropriadas, obtemos: