Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral dupla de sobre a região , que é definida por e .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais duplas, mudança de ordem de integração e interpretação de regiões no plano XY.
O que precisamos: Entender a região de integração e configurar os limites das integrais para calcular .
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Sabemos que varia de 1 a 3. Para cada valor de nesse intervalo, varia de até .
Para facilitar, vamos esboçar as retas que delimitam :
: é uma reta que passa pelos pontos (0,1) e (1,2).
: é uma reta que passa pela origem (0,0) e pelo ponto (1,2).
Entre e , essas duas retas definem a “altura” da região para cada .
Passo 3
Agora, configuramos a integral dupla. A integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada, escolhendo integrar primeiro em e depois em :
Isso significa que para cada entre 1 e 3, vamos integrar de até .
Passo 4
Vamos calcular a integral interna, que é em relação a :
Integrando termo a termo:
A integral de em relação a é .
A integral de em relação a é .
Portanto,
Passo 5
Agora, substituímos os limites de [ x (2x) - (2x)^2 ] - [ x (1 + x) - (1 + x)^2 ] :
2x^2 - 4x^2 = -2x^2
Simplificando cada parte:
Para x (1 + x) - (1 + x)^2 = x + x^2 - (1 + 2x + x^2) = x + x^2 - 1 - 2x - x^2 = -x -1 :
-2x^2 - (-x -1) = -2x^2 + x +1
Para :
Então, a diferença é:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^3 (-2x^2 + x + 1) , dx
Vamos integrar termo a termo:
A integral de -23x^3 + 12x^2 + x |1^3 é .
A integral de é .
A integral de é .
Então,
Passo 7
Agora, substituímos os limites de -23(27) + 12(9) + 3 = -18 + 4.5 + 3 = -10.5 :