Calcule a integral dupla. integral duplaD(x-2 y) d A,
D=(x, y) mid 1 <= x <= 3,1+x <= y <= 2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral dupla de sobre a região , que é definida por e .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais duplas, mudança de ordem de integração e interpretação de regiões no plano XY.
O que precisamos: Entender a região de integração e configurar os limites das integrais para calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Sabemos que varia de 1 a 3. Para cada valor de nesse intervalo, varia de até .
Para facilitar, vamos esboçar as retas que delimitam :
  • : é uma reta que passa pelos pontos (0,1) e (1,2).
  • : é uma reta que passa pela origem (0,0) e pelo ponto (1,2).
Entre e , essas duas retas definem a “altura” da região para cada .

Passo 3

Agora, configuramos a integral dupla. A integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada, escolhendo integrar primeiro em integral duplaD (x - 2y) , dA = integralx=1^3 ( integraly=1+x^2x (x - 2y) , dy ) dx e depois em :
Isso significa que para cada entre 1 e 3, vamos integrar de até .

Passo 4

Vamos calcular a integral interna, que é em relação a integral1+x^2x (x - 2y) , dy :
x y - y^2 |1+x^2x
Integrando termo a termo:
  • A integral de em relação a é .
  • A integral de em relação a é .
Portanto,

Passo 5

Agora, substituímos os limites de [ x (2x) - (2x)^2 ] - [ x (1 + x) - (1 + x)^2 ] :
2x^2 - 4x^2 = -2x^2
Simplificando cada parte:
Para x (1 + x) - (1 + x)^2 = x + x^2 - (1 + 2x + x^2) = x + x^2 - 1 - 2x - x^2 = -x -1 :
-2x^2 - (-x -1) = -2x^2 + x +1
Para :
Então, a diferença é:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^3 (-2x^2 + x + 1) , dx
Vamos integrar termo a termo:
  • A integral de -23x^3 + 12x^2 + x |1^3 é .
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Então,

Passo 7

Agora, substituímos os limites de -23(27) + 12(9) + 3 = -18 + 4.5 + 3 = -10.5 :
Para -23(1) + 12(1) + 1 = -23 + 12 + 1 = ( -46 + 36 + 66 ) = 56 :
-10.5 - 56 = -10.5 - 0.8333 = -11.3333
Para -11 13 = -343 :
Calculando a diferença:
Convertendo para fração:

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados