Calcule a integral dupla.
é delimitada por
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla
, onde a região
é delimitada pelas curvas
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, precisamos entender como determinar os limites de integração e como configurar a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas que delimitam a região
. Temos
e
. Para encontrar os pontos de interseção dessas curvas, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação
, subtraímos
de ambos os lados:
Agora, resolvemos essa equação quadrática.
Passo 4
Fatorando a equação
, temos:
Portanto, as soluções são
e
.
Passo 5
Agora sabemos que as curvas se interceptam nos pontos
e
. Vamos determinar os valores correspondentes de
substituindo esses valores de
em uma das equações, por exemplo,
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Agora, precisamos determinar a região
limitada por essas curvas. Observando as curvas, vemos que
é uma parábola que abre para cima, e
é uma linha reta. Entre
e
, a reta está acima da parábola.
Passo 7
Para configurar a integral dupla, podemos integrar primeiro em
e depois em
. Os limites para
vão da parábola até a reta para cada valor de
no intervalo de 1 a 4.
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos integrá-lo com facilidade.
Passo 9
Integrando
em relação a
:
Agora, avaliamos de
até
:
Passo 10
Agora, substituímos essa expressão de volta na integral externa:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral antes de integrar.
Passo 11
Simplificando a expressão:
Primeiro, calculemos
:
Agora, substituindo na expressão:
Passo 12
Então, a integral se torna:
Multiplicando
pelos termos dentro dos parênteses:
Passo 13
Agora, integramos cada termo em relação a
:
Calculando cada integral:
Passo 14
Combinando todas as integrais:
Agora, avaliamos essa expressão de
a
.
Passo 15
Primeiro, avaliamos em
:
Calculando cada termo:
-
→ -
→ -
→ -
→ -
→
Somando todos:
Passo 16
Agora, avaliamos em
:
Calculando cada termo:
-
→ -
→ -
→ -
→ -
→
Somando todos:
Passo 17
Finalmente, subtraímos o valor em
do valor em
:
Resposta
O valor da integral dupla é aproximadamente
.