Calcule a integral dupla. integral duplaD 3 x y d A, D é delimitada por y=x, y=x^2-4 x+4

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaD 3xy , dA, onde a região D é delimitada pelas curvas y = x e y = x^2 - 4x + 4. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, precisamos entender como determinar os limites de integração e como configurar a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas que delimitam a região D. Temos y = x e y = x^2 - 4x + 4. Para encontrar os pontos de interseção dessas curvas, igualamos as duas equações:
x = x^2 - 4x + 4

Passo 3

Resolvendo a equação x = x^2 - 4x + 4, subtraímos x de ambos os lados:
0 = x^2 - 5x + 4
Agora, resolvemos essa equação quadrática.

Passo 4

Fatorando a equação x^2 - 5x + 4 = 0, temos:
(x - 1)(x - 4) = 0
Portanto, as soluções são x = 1 e x = 4.

Passo 5

Agora sabemos que as curvas se interceptam nos pontos x = 1 e x = 4. Vamos determinar os valores correspondentes de y substituindo esses valores de x em uma das equações, por exemplo, y = x:
Para x = 1: y = 1
Para x = 4: y = 4
Então, os pontos de interseção são (1, 1) e (4, 4).

Passo 6

Agora, precisamos determinar a região D limitada por essas curvas. Observando as curvas, vemos que y = x^2 - 4x + 4 é uma parábola que abre para cima, e y = x é uma linha reta. Entre x = 1 e x = 4, a reta está acima da parábola.

Passo 7

Para configurar a integral dupla, podemos integrar primeiro em y e depois em x. Os limites para y vão da parábola até a reta para cada valor de x no intervalo de 1 a 4.
Então, a integral fica:
integralx=1^4 integraly=x^2 - 4x + 4^x 3xy , dy , dx

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integraly=x^2 - 4x + 4^x 3xy , dy
Aqui, 3x é uma constante em relação a y, então podemos integrá-lo com facilidade.

Passo 9

Integrando 3xy em relação a y:
3x integral y , dy = 3x ( y^22 ) = 3x2 y^2
Agora, avaliamos de y = x^2 - 4x + 4 até y = x:
3x2 ( x^2 - (x^2 - 4x + 4)^2 )

Passo 10

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral externa:
integral1^4 3x2 ( x^2 - (x^2 - 4x + 4)^2 ) dx
Vamos simplificar a expressão dentro da integral antes de integrar.

Passo 11

Simplificando a expressão:
Primeiro, calculemos (x^2 - 4x + 4)^2:
(x^2 - 4x + 4)^2 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16
Agora, substituindo na expressão:
x^2 - (x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16) = -x^4 + 8x^3 - 23x^2 + 32x - 16

Passo 12

Então, a integral se torna:
integral1^4 3x2 ( -x^4 + 8x^3 - 23x^2 + 32x - 16 ) dx
Multiplicando 3x2 pelos termos dentro dos parênteses:
integral1^4 ( -32 x^5 + 12x^4 - 692 x^3 + 48x^2 - 24x ) dx

Passo 13

Agora, integramos cada termo em relação a x:
-32 integral x^5 dx + 12 integral x^4 dx - 692 integral x^3 dx + 48 integral x^2 dx - 24 integral x , dx
Calculando cada integral:
  • -32 cdot x^66 = -3x^612 = -x^64
  • 12 cdot x^55 = 12x^55
  • -692 cdot x^44 = -69x^48
  • 48 cdot x^33 = 16x^3
  • -24 cdot x^22 = -12x^2

Passo 14

Combinando todas as integrais:
-x^64 + 12x^55 - 69x^48 + 16x^3 - 12x^2
Agora, avaliamos essa expressão de x = 1 a x = 4.

Passo 15

Primeiro, avaliamos em x = 4:
-4^64 + 12 cdot 4^55 - 69 cdot 4^48 + 16 cdot 4^3 - 12 cdot 4^2
Calculando cada termo:
  • 4^6 = 4096 -40964 = -1024
  • 4^5 = 1024 12 cdot 10245 = 122885 = 2457.6
  • 4^4 = 256 -69 cdot 2568 = -176648 = -2208
  • 4^3 = 64 16 cdot 64 = 1024
  • 4^2 = 16 -12 cdot 16 = -192
Somando todos:
-1024 + 2457.6 - 2208 + 1024 - 192 = 57.6

Passo 16

Agora, avaliamos em x = 1:
-1^64 + 12 cdot 1^55 - 69 cdot 1^48 + 16 cdot 1^3 - 12 cdot 1^2
Calculando cada termo:
  • 1^6 = 1 -14 = -0.25
  • 1^5 = 1 125 = 2.4
  • 1^4 = 1 -698 = -8.625
  • 1^3 = 1 16
  • 1^2 = 1 -12
Somando todos:
-0.25 + 2.4 - 8.625 + 16 - 12 = -2.475

Passo 17

Finalmente, subtraímos o valor em x = 1 do valor em x = 4:
57.6 - (-2.475) = 57.6 + 2.475 = 60.075

Resposta

O valor da integral dupla é aproximadamente 60.075.

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