Calcule a integral dupla onde é a região contida na circunferência .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região , que é o interior da circunferência . O que queremos integrar é . Para isso, vamos usar cálculo em coordenadas polares, já que a região e a função são simétricas em torno da origem. Isso vai facilitar bastante a nossa vida na hora de resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas de e para coordenadas polares. Lembrando que:
E a área em coordenadas polares fica:
Isso porque, ao mudar de coordenadas cartesianas para polares, a área elementar se ajusta por um fator de .

Passo 3

Agora, vamos redefinir a nossa região no sistema polar. A circunferência se transforma em:
Então, varia de 0 a 1 e varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
Aqui, substituímos por e por .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo uma substituição simples: seja , então , ou seja, .

Passo 6

Aplicando a substituição:
Simplificando:

Passo 7

Agora, voltamos para a integral completa:
Os e se cancelam.

Resposta

A integral dupla vale .

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Calcule , onde é a região limitada pelas retas .
Identifique qual superfície as equações paramétricas estão representando. .
Questão pt] Dada a inequação:
Determine o seu conjunto solução em notação de intervalos e propriedade.