Calcule a integral dupla
onde
é a região contida na circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região
, que é o interior da circunferência
. O que queremos integrar é
. Para isso, vamos usar cálculo em coordenadas polares, já que a região e a função são simétricas em torno da origem. Isso vai facilitar bastante a nossa vida na hora de resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar as coordenadas de
e
para coordenadas polares. Lembrando que:
E a área
em coordenadas polares fica:
Isso porque, ao mudar de coordenadas cartesianas para polares, a área elementar se ajusta por um fator de
.
Passo 3
Agora, vamos redefinir a nossa região
no sistema polar. A circunferência
se transforma em:
Então,
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a
para cobrir toda a circunferência.
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, temos:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo uma substituição simples: seja
, então
, ou seja,
.
Passo 6
Aplicando a substituição:
Simplificando:
Passo 7
Agora, voltamos para a integral completa:
Os
e
se cancelam.
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a região limitada pelas retas
.
Identifique qual superfície as equações paramétricas estão representando.
.
Questão
pt] Dada a inequação:
Determine o seu conjunto solução em notação de intervalos e propriedade.