Calcule a integral dupla integral duplaD e^-(x^2+y^2) d A onde D é a região contida na circunferência x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região , que é o interior da circunferência . O que queremos integrar é . Para isso, vamos usar cálculo em coordenadas polares, já que a região e a função são simétricas em torno da origem. Isso vai facilitar bastante a nossa vida na hora de resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas de x = r cos theta e y = r sin theta e dA = r , dr , dtheta para coordenadas polares. Lembrando que:
E a área em coordenadas polares fica:
Isso porque, ao mudar de coordenadas cartesianas para polares, a área elementar se ajusta por um fator de .

Passo 3

Agora, vamos redefinir a nossa região r^2 = 1 Rightarrow r = 1 no sistema polar. A circunferência se transforma em:
Então, varia de 0 a 1 e varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral duplaD e^-(x^2 + y^2) , dA = integral0^2pi integral0^1 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, substituímos por e por .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 r e^-r^2 , dr :
Fazendo uma substituição simples: seja , então , ou seja, .

Passo 6

Aplicando a substituição:
integral0^1 r e^-r^2 , dr = -12 integralu(0)^u(1) e^u , du = -12 [ e^u ]0^-1 = -12 ( e^-1 - e^0 )
Simplificando:
= -12 (e^-1 - 1) = 12 (1 - e^-1)

Passo 7

Agora, voltamos para a integral completa:
integral0^2pi ( 12 (1 - e^-1) ) dtheta = 12 (1 - e^-1) integral0^2pi dtheta = 12 (1 - e^-1) cdot 2pi
Os e se cancelam.

Resposta

A integral dupla vale .

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