Calcule a integral dupla
em que
é a região triangular limitada pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla:
onde
é uma região triangular limitada pelas retas
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração em duas variáveis. Precisamos entender a região de integração e escolher a melhor ordem para integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a região
. As retas que delimitam
são:
-
: é o eixo . -
: é uma reta que passa pela origem com inclinação 2. -
: é uma linha horizontal.
Pelo desenho, vemos que
é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar os limites de integração. Podemos integrar
de 0 até
(solvendo
para
), e
de 0 até 2. Então, a integral dupla fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
. Como
não depende de
, a integral é:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com:
Vamos simplificar isso para facilitar a integração:
Passo 6
Para resolver essa integral, usamos uma substituição. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Alterando os limites de integração:
- Quando
, . - Quando
, .
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
A integral de
é
, então:
Resposta
A integral dupla vale: