Calcule a integral dupla
integral duplaD cos (1+y^2) d A
em que D é a região triangular limitada pelas retas x=0, y=2 x e y=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla:
integral duplaD cos (1+y^2) , d A
onde é uma região triangular limitada pelas retas , e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração em duas variáveis. Precisamos entender a região de integração e escolher a melhor ordem para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região . As retas que delimitam são:
  • : é o eixo .
  • : é uma reta que passa pela origem com inclinação 2.
  • : é uma linha horizontal.
Pelo desenho, vemos que é um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Agora, vamos configurar os limites de integração. Podemos integrar integral0^2 integral0^y/2 cos(1 + y^2) , dx , dy de 0 até (solvendo para ), e de 0 até 2. Então, a integral dupla fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^y/2 cos(1 + y^2) , dx = cos(1 + y^2) cdot ( y2 - 0 ) = y2 cos(1 + y^2) . Como não depende de , a integral é:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com:
integral0^2 y2 cos(1 + y^2) , dy
Vamos simplificar isso para facilitar a integração:
12 integral0^2 y cos(1 + y^2) , dy

Passo 6

Para resolver essa integral, usamos uma substituição. Vamos deixar du = 2y , dy Rightarrow y , dy = du2 . Então, a derivada de em relação a é:
Alterando os limites de integração:
  • Quando , .
  • Quando , .

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
12 integral1^5 cos(u) cdot du2 = 14 integral1^5 cos(u) , du
A integral de 14 [ sin(u) ]1^5 = 14 ( sin(5) - sin(1) ) é , então:

Resposta

A integral dupla vale:
sin(5) - sin(1)4

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