Utilizando o conceito de derivada, identifique se a função é derivável em algum ponto e no caso positivo obtenha a regra de derivação da função e calcule o valor da derivada em um ponto escolhido adequadamente.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! A gente tem a função
e precisa descobrir se essa função é derivável em algum ponto. Se for, vamos encontrar a regra de derivação dessa função e calcular o valor da derivada em um ponto específico. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para entender como uma função muda em relação à sua variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa derivar uma função. Derivada é como a inclinação da função em um ponto específico, mostrando quão rápido ela está aumentando ou diminuindo ali. No contexto de funções de número complexo, derivabilidade é um pouco mais rigorosa e envolve as chamadas condições de Cauchy-Riemann.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Sabemos que o módulo de um número complexo
é
. Então,
. Isso significa que nossa função pode ser escrita como:
Aqui,
e
são as partes real e imaginária de
, respectivamente.
Passo 4
Para verificar se a função é derivável, usamos as condições de Cauchy-Riemann. Se
, as condições de Cauchy-Riemann dizem que:
No nosso caso,
, que é uma função real, ou seja,
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, aplicando as condições de Cauchy-Riemann:
Isso implica que
e
. Portanto, somente no ponto
a função satisfaz as condições de Cauchy-Riemann.
Passo 6
Agora que identificamos que a função é derivável apenas em
, vamos encontrar a regra de derivação. Para isso, calculamos a derivada em
.
Como
, podemos derivar em relação a
:
Isso ocorre porque no ponto onde a função é diferenciável, as variações em
não afetam a função de forma a criar uma inclinação diferente de zero.
Resposta
A função
é derivável apenas no ponto
. A regra de derivação nessa posição é
.