Utilizando o conceito de derivada, identifique se a função é derivável em algum ponto e no caso positivo obtenha a regra de derivação da função e calcule o valor da derivada em um ponto escolhido adequadamente.
c)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! A gente tem a função e precisa descobrir se essa função é derivável em algum ponto. Se for, vamos encontrar a regra de derivação dessa função e calcular o valor da derivada em um ponto específico. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para entender como uma função muda em relação à sua variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa derivar uma função. Derivada é como a inclinação da função em um ponto específico, mostrando quão rápido ela está aumentando ou diminuindo ali. No contexto de funções de número complexo, derivabilidade é um pouco mais rigorosa e envolve as chamadas condições de Cauchy-Riemann.

Passo 3

Vamos analisar a função . Sabemos que o módulo de um número complexo é . Então, . Isso significa que nossa função pode ser escrita como:
Aqui, e são as partes real e imaginária de , respectivamente.

Passo 4

Para verificar se a função é derivável, usamos as condições de Cauchy-Riemann. Se , as condições de Cauchy-Riemann dizem que:
No nosso caso, , que é uma função real, ou seja, .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, aplicando as condições de Cauchy-Riemann:
Isso implica que e . Portanto, somente no ponto a função satisfaz as condições de Cauchy-Riemann.

Passo 6

Agora que identificamos que a função é derivável apenas em , vamos encontrar a regra de derivação. Para isso, calculamos a derivada em .
Como , podemos derivar em relação a :
Isso ocorre porque no ponto onde a função é diferenciável, as variações em não afetam a função de forma a criar uma inclinação diferente de zero.

Resposta

A função é derivável apenas no ponto . A regra de derivação nessa posição é .

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Identifique se as funções abaixo são contínuas no ponto zo. Justifique suas respostas
d)
Calcule a integral dupla
em que é a região triangular limitada pelas retas e .
Calcule, utilizando coordenadas esféricas, a integral
em que é o sólido limitado pelo cone e pelo plano .
Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, a integral
em que é o sólido exterior ao cone e interior ao paraboloide .