Identifique se as funções abaixo são contínuas no ponto zo. Justifique suas respostas
d)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de :
Queremos saber se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites para funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
Ou seja, o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
No nosso caso, . Vamos verificar :
Como , usamos a segunda parte da definição da função:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Essa aproximação pode acontecer de duas maneiras:
Quando :
Vamos simplificar essa expressão. O numerador pode ser fatorado:
Substituindo de volta:
Quando :
Passo 5
Vamos calcular o limite considerando se aproximando de :
Para :
Substituindo :
Para :
Passo 6
Comparando o limite com o valor da função em :
Como , temos que:
Resposta
A função não é contínua no ponto , pois o limite quando se aproxima de é , diferente do valor da função nesse ponto, que é 3.