Identifique se as funções abaixo são contínuas no ponto zo. Justifique suas respostas
d) zo = i ; f(z) = { (z^3 - 1) / (z - 1) , |z| ≠ 1 ; 3 , |z| = 1 }

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de :
Queremos saber se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites para funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
Ou seja, o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

No nosso caso, . Vamos verificar :
Como , usamos a segunda parte da definição da função:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Essa aproximação pode acontecer de duas maneiras:
  1. Quando :
    Vamos simplificar essa expressão. O numerador pode ser fatorado:
    Substituindo de volta:
  2. Quando :

Passo 5

Vamos calcular o limite considerando se aproximando de :
  • Para :
    Substituindo :
  • Para :

Passo 6

Comparando o limite com o valor da função em :
Como , temos que:

Resposta

A função não é contínua no ponto , pois o limite quando se aproxima de é , diferente do valor da função nesse ponto, que é 3.

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