Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
sobre a região , que é um triângulo com vértices em , e . O conteúdo da matéria aqui envolve integrais duplas e cálculo de áreas. Para resolver, vamos precisar definir os limites de integração adequados para a região triangular e então calcular a integral.
Passo 2
Vamos visualizar a região . Os vértices formam um triângulo no primeiro quadrante. Para definir os limites de integração, podemos integrar primeiro em , para cada valor de entre 0 e 1.
Observando o triângulo:
Para fixo entre 0 e 1, varia de 0 até a linha que vai de a , que é .
Então, os limites de integração são:
de 0 a 1
de 0 a
Passo 3
Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, integramos em relação a integral0^1 x , dx = x^22 |0^1 = 12 - 0 = 12 :