Substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 2(1+x^2+y^2)^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral dupla em coordenadas cartesianas:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 2(1+x^2+y^2)^2, dy, dx
O conteúdo aqui envolve integrais duplas e a mudança de coordenadas cartesianas para polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter integrais de uma coordenada para outra e usar as fórmulas de integração em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As restrições x vai de -1 a 1 e, para cada x, y varia de -raiz1 - x^2 a raiz1 - x^2. Isso descreve um círculo de raio 1 centrado na origem.
Nas coordenadas polares, um ponto é representado por (r, theta), onde r é a distância do ponto à origem e theta é o ângulo com o eixo positivo do x. A relação entre coordenadas cartesianas e polares é:
x = r costheta y = r sintheta
E o elemento de área em coordenadas polares é dA = r, dr, dtheta.

Passo 3

Agora, vamos reescrever os limites de integração em coordenadas polares. Como a região é um círculo de raio 1, temos:
0 <= r <= 1 0 <= theta <= 2pi
Então, a integral dupla em coordenadas polares fica:
integral0^2pi integral0^1 2(1 + r^2)^2 cdot r, dr, dtheta
Aqui, substituímos x^2 + y^2 por r^2 e incluímos o fator r do elemento de área.

Passo 4

Vamos agora calcular a integral. Primeiro, resolvemos a integral em relação a r:
integral0^1 2r(1 + r^2)^2, dr
Podemos usar uma substituição aqui. Seja u = 1 + r^2, então du = 2r, dr. Quando r = 0, u = 1, e quando r = 1, u = 2. A integral fica:
integral1^2 1u^2, du = [ -1u ]1^2 = -12 + 1 = 12

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a theta:
integral0^2pi 12, dtheta = 12 cdot 2pi = pi

Resposta

A integral original em coordenadas cartesianas equivale a pi em coordenadas polares.

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