Substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral dupla em coordenadas cartesianas:
O conteúdo aqui envolve integrais duplas e a mudança de coordenadas cartesianas para polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter integrais de uma coordenada para outra e usar as fórmulas de integração em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As restrições
vai de
a
e, para cada
,
varia de
a
. Isso descreve um círculo de raio 1 centrado na origem.
Nas coordenadas polares, um ponto é representado por
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo com o eixo positivo do
. A relação entre coordenadas cartesianas e polares é:
E o elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever os limites de integração em coordenadas polares. Como a região é um círculo de raio 1, temos:
Então, a integral dupla em coordenadas polares fica:
Aqui, substituímos
por
e incluímos o fator
do elemento de área.
Passo 4
Vamos agora calcular a integral. Primeiro, resolvemos a integral em relação a
:
Podemos usar uma substituição aqui. Seja
, então
. Quando
,
, e quando
,
. A integral fica:
Passo 5
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
A integral original em coordenadas cartesianas equivale a
em coordenadas polares.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Verifique as identidades.
.
Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y
onde D é limitado por
.
Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(e)
(e)
Calcule a integral dupla
onde D é a região triangular com vértices
e
.