Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(e) integralC(x+2 y) d x+(x-y) d y C:(x(t), y(t))=(2 cos (t), 4 sen(t)) t in[0, pi4]

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha onde a curva é parametrizada por e para no intervalo . Este exercício pertence ao tema de integrais de linha, onde precisamos calcular a integral de uma função vetorial ao longo de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Em cálculo vetorial, uma integral de linha permite calcular o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. A fórmula geral para a integral de linha de uma função vetorial integralC P , dx + Q , dy = integrala^b ( P dxdt + Q dydt ) dt ao longo de uma curva parametrizada por e é:

Passo 3

Identificamos as funções P(x, y) = x + 2y Q(x, y) = x - y e x(t) = 2 cos(t) y(t) = 4 sin(t) t in [0, pi4] da nossa integral:
Também temos a parametrização da curva :

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de dxdt = -2 sin(t) dydt = 4 cos(t) e em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos P(t) = 2 cos(t) + 2 cdot 4 sin(t) = 2 cos(t) + 8 sin(t) Q(t) = 2 cos(t) - 4 sin(t) e nas funções e :

Passo 6

Substituímos integral0^pi4 [ (2 cos(t) + 8 sin(t)) cdot (-2 sin(t)) + (2 cos(t) - 4 sin(t)) cdot 4 cos(t) ] dt , , e na fórmula da integral de linha:

Passo 7

Simplificamos a expressão dentro da integral:
= integral0^pi4 [ -4 cos(t) sin(t) - 16 sin^2(t) + 8 cos^2(t) - 16 sin(t) cos(t) ] dt
= integral0^pi4 [ 8 cos^2(t) - 16 sin^2(t) - 20 cos(t) sin(t) ] dt

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
Primeiro, usando a identidade 8 cos^2(t) = 8 cdot 1 + cos(2t)2 = 4 + 4 cos(2t) -16 sin^2(t) = -16 cdot 1 - cos(2t)2 = -8 + 8 cos(2t) e 8 cos^2(t) - 16 sin^2(t) = (4 + 4 cos(2t)) + (-8 + 8 cos(2t)) = -4 + 12 cos(2t) :
-20 cos(t) sin(t) = -10 sin(2t)
Então:
Agora, para o termo , usamos a identidade :

Passo 9

Substituímos as identidades na integral:
integral0^pi4 ( -4 + 12 cos(2t) - 10 sin(2t) ) dt
Integrando cada termo:
integral -4 , dt = -4t integral 12 cos(2t) , dt = 6 sin(2t) integral -10 sin(2t) , dt = -102 (-cos(2t)) = 5 cos(2t)

Passo 10

Avaliar as antiderivadas no intervalo -4t + 6 sin(2t) + 5 cos(2t) |0^pi4 :
-4 cdot pi4 + 6 sin(pi2) + 5 cos(pi2) = -pi + 6 cdot 1 + 5 cdot 0 = -pi + 6
Substituindo -4 cdot 0 + 6 sin(0) + 5 cos(0) = 0 + 0 + 5 = 5 :
Substituindo :

Passo 11

Calculamos a diferença:
(-pi + 6) - 5 = -pi + 1

Resposta

O valor da integral é .

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