Integre f(x, y) = ln(x^2 + y^2) / (x^2 + y^2) sobre a região 1 <= x^2 + y^2 <= e^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de sobre a região onde . Esse tipo de problema faz parte do cálculo multivariado, especificamente envolvendo integrais duplas. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, já que a região de integração é um anel centrado na origem.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares . Lembrando que:
Além disso, a expressão se torna em coordenadas polares. A área diferencial em coordenadas polares é .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função em coordenadas polares:
E a integral dupla sobre a região dada fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 4

Vamos simplificar mais um pouco. Sabemos que , então substituímos na integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , então . A integral fica:
Agora, avaliamos de a :

Passo 6

Agora, voltamos à integral externa em relação a :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule a integral dupla
integral duplaD d A
onde D é a região triangular com vértices (0,0),(1,0) e (1,1).
Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(e) integralC(x+2 y) d x+(x-y) d y C:(x(t), y(t))=(2 cos (t), 4 sen(t)) t in[0, pi4]
Desenhe a superfície de nível ou implícita S_k = {(x, y, z) em R^3 | f(x, y, z) = k} correspondente a k = 1
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2
Esboce o domínio da função f em cada um dos casos a seguir.
f(x, y) = ln(x^2) + y.