Integre f(x, y) = ln(x^2 + y^2) / (x^2 + y^2) sobre a região 1 <= x^2 + y^2 <= e^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de sobre a região onde . Esse tipo de problema faz parte do cálculo multivariado, especificamente envolvendo integrais duplas. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, já que a região de integração é um anel centrado na origem.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares . Lembrando que:
Além disso, a expressão se torna em coordenadas polares. A área diferencial em coordenadas polares é .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função em coordenadas polares:
E a integral dupla sobre a região dada fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 4

Vamos simplificar mais um pouco. Sabemos que , então substituímos na integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , então . A integral fica:
Agora, avaliamos de a :

Passo 6

Agora, voltamos à integral externa em relação a :

Resposta

A integral vale .

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