Calcule a integral dupla
onde D é a região triangular com vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
onde é uma região triangular com vértices em , e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas para encontrar a área dessa região.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como está definida a região . Como é um triângulo com vértices em , e , podemos visualizar que a base está no eixo de a e o lado inclinado vai de a , que é a linha .
Assim, para integrar, vamos escolher a ordem de integração começando por e depois . Para um valor fixo de , varia de até .

Passo 3

Com isso, estabelecemos os limites de integração:
  • varia de a
  • Para cada , varia de a
A integral dupla fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Agora, substituímos na integral externa:
Integrando em relação a :

Resposta

A integral dupla calculada é igual a . Ou seja,

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Calcule os limites abaixo.
.
Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
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Se , mostre que
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