Calcule a integral dupla
integral duplaD d A
onde D é a região triangular com vértices (0,0),(0,1) e (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
integral duplaD dA
onde é uma região triangular com vértices em , e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas para encontrar a área dessa região.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como está definida a região . Como é um triângulo com vértices em , e , podemos visualizar que a base está no eixo de a e o lado inclinado vai de a , que é a linha .
Assim, para integrar, vamos escolher a ordem de integração começando por e depois . Para um valor fixo de , varia de até .

Passo 3

Com isso, estabelecemos os limites de integração:
  • integraly=0^1 integralx=0^y dx , dy varia de a
  • Para cada , varia de a
A integral dupla fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integralx=0^y dx = y - 0 = y :
integral0^1 y , dy
Agora, substituímos na integral externa:
y^22 |0^1 = 1^22 - 0^22 = 12
Integrando em relação a :

Resposta

A integral dupla calculada é igual a integral duplaD dA = 12 . Ou seja,

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