Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
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Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral , onde a curva é parametrizada por e para entre 0 e 3. Aqui, vamos usar o conceito de integrais de linha, que envolve calcular o comprimento ao longo da curva ponderado pela função . Para isso, precisamos saber como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o diferencial de arco . Quando temos uma curva parametrizada por e , o é dado por:
Então, nosso primeiro passo é calcular as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas:
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do :

Passo 4

Com o calculado, substituímos na integral original:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral . Sabemos que:
Aqui, , então:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a 3:

Resposta

A integral vale 2.

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onde D é a região triangular com vértices e .