Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
© integralC 11+x d s C:(x(t), y(t))=(t, 23 t^3 / 2) t in[0,3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral , onde a curva é parametrizada por e para entre 0 e 3. Aqui, vamos usar o conceito de integrais de linha, que envolve calcular o comprimento ao longo da curva ponderado pela função . Para isso, precisamos saber como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o diferencial de arco ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt . Quando temos uma curva parametrizada por e , o é dado por:
Então, nosso primeiro passo é calcular as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas:
dxdt = ddt t = 1
dydt = ddt ( 23 t^3/2 ) = 23 cdot 32 t^1/2 = t^1/2
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do ds = raiz(1)^2 + (t^1/2)^2 , dt = raiz1 + t , dt :

Passo 4

Com o integralC 11+x , ds = integral0^3 11 + t cdot raiz1 + t , dt calculado, substituímos na integral original:
11 + t cdot raiz1 + t = raiz1 + t1 + t = (1 + t)^-1/2
Simplificando a expressão dentro da integral:
integral0^3 (1 + t)^-1/2 , dt
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral (1 + t)^n , dt = (1 + t)^n+1n+1 + C, quando n neq -1 . Sabemos que:
integral (1 + t)^-1/2 , dt = 2 (1 + t)^1/2 + C
Aqui, , então:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a 3:
2 (1 + t)^1/2 |0^3 = 2 ( raiz1 + 3 - raiz1 + 0 ) = 2 (raiz4 - raiz1) = 2 (2 - 1) = 2

Resposta

A integral vale 2.

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