Beleza, vamos resolver esse limite que envolve três variáveis: , e . O enunciado pede para calcular:
Estamos lidando com limites em várias variáveis, que faz parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta conforme se aproxima do ponto .
Passo 2
Primeiro, vamos observar a estrutura da função:
Queremos ver o que acontece com essa fração quando , e vão para 0. Uma boa maneira de analisar limites multivariáveis é estimar a função usando desigualdades para ver se conseguimos mostrar que o limite é zero.
Passo 3
Vamos começar encontrando um limite superior para o valor absoluto da função. Isso ajuda a mostrar que a função fica cada vez menor à medida que nos aproximamos de .
Primeiro, tomamos o valor absoluto da função:
Agora, vamos usar o fato de que cada termo ao quadrado é não negativo, então é sempre positivo, exceto quando .
Podemos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz ou simplesmente observar que cada variável é menor ou igual à soma dos quadrados:
Note que é sempre não negativo.
Passo 4
Vamos relacionar isso com a soma no denominador:
Sabemos que , então podemos escrever:
Aqui, simplificamos nos numerador e denominador.
Passo 5
Agora, precisamos analisar conforme se aproxima de . Como e estão indo para zero, o produto também vai para zero.
Então, temos:
Passo 6
Finalmente, usando o teorema do sanduíche (ou do aperto), já que:
E sabemos que ambos os limites laterais são zero, podemos concluir que: