Calcule os limites abaixo.
lim (x, y, z) (0,0,0) x y z^2x^2+y^2+z^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve três variáveis: lim (x, y, z) (0,0,0) x y z^2x^2+y^2+z^2 , e . O enunciado pede para calcular:
Estamos lidando com limites em várias variáveis, que faz parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta conforme se aproxima do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos observar a estrutura da função:
x y z^2x^2+y^2+z^2
Queremos ver o que acontece com essa fração quando , e vão para 0. Uma boa maneira de analisar limites multivariáveis é estimar a função usando desigualdades para ver se conseguimos mostrar que o limite é zero.

Passo 3

Vamos começar encontrando um limite superior para o valor absoluto da função. Isso ajuda a mostrar que a função fica cada vez menor à medida que nos aproximamos de | x y z^2x^2+y^2+z^2 | .
Primeiro, tomamos o valor absoluto da função:
|x y z^2| <= |x| cdot |y| cdot z^2
Agora, vamos usar o fato de que cada termo ao quadrado é não negativo, então é sempre positivo, exceto quando .
Podemos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz ou simplesmente observar que cada variável é menor ou igual à soma dos quadrados:
Note que é sempre não negativo.

Passo 4

Vamos relacionar isso com a soma no denominador:
Sabemos que |x y z^2|x^2+y^2+z^2 <= |x| cdot |y| cdot z^2z^2 = |x| cdot |y| , então podemos escrever:
Aqui, simplificamos nos numerador e denominador.

Passo 5

Agora, precisamos analisar lim(x, y, z) (0,0,0) |x| cdot |y| = 0 conforme se aproxima de . Como e estão indo para zero, o produto também vai para zero.
Então, temos:

Passo 6

Finalmente, usando o teorema do sanduíche (ou do aperto), já que:
0 <= | x y z^2x^2+y^2+z^2 | <= |x| cdot |y|
E sabemos que ambos os limites laterais são zero, podemos concluir que:
lim (x, y, z) (0,0,0) x y z^2x^2+y^2+z^2 = 0

Resposta

O limite é igual a zero.

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