Se , mostre que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função:
E devemos provar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos calcular e passo a passo.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Observe que depende de através da função .
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando a derivada interna:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, aplicamos a regra da cadeia, mas agora temos duas partes que dependem de : o e o argumento de .
Calculando a derivada interna:
Então:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na expressão original:
Substituindo:
Simplificando:
Perceba que os termos com podem ser agrupados:
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Então, sobra apenas:

Resposta

Após simplificar, encontramos que:

Exercícios relacionados

Calcule a integral dupla
onde D é a região triangular com vértices e .
Calcule os limites abaixo.
.
Se , mostre que
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do parabolóide hiperbólico e acima da região limitada pelas curvas e no primeiro quadrante.