Se z=e^y f(y e^x^22 y^2), mostre que
(x^2-y^2) partial zpartial x+x y partial zpartial y=x y z

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função:
z = e^y cdot f(y cdot e^x^22 y^2)
E devemos provar que:
(x^2 - y^2) partial zpartial x + x y partial zpartial y = x y z
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos calcular partial zpartial x e partial zpartial y passo a passo.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de z em relação a x, ou seja, partial zpartial x. Observe que z depende de x através da função f.
Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial x = e^y cdot f'(y e^x^22 y^2) cdot partialpartial x(y e^x^22 y^2)
Calculando a derivada interna:
partialpartial x(y e^x^22 y^2) = y cdot e^x^22 y^2 cdot 2x2 y^2 = xy e^x^22 y^2
Então:
partial zpartial x = e^y cdot f'(y e^x^22 y^2) cdot xy e^x^22 y^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y, ou seja, partial zpartial y.
Novamente, aplicamos a regra da cadeia, mas agora temos duas partes que dependem de y: o e^y e o argumento de f.
partial zpartial y = e^y cdot f(y e^x^22 y^2) + e^y cdot f'(y e^x^22 y^2) cdot partialpartial y(y e^x^22 y^2)
Calculando a derivada interna:
partialpartial y(y e^x^22 y^2) = e^x^22 y^2 + y cdot e^x^22 y^2 cdot (-2x^22 y^3) = e^x^22 y^2 (1 - x^2y^2)
Então:
partial zpartial y = e^y cdot f(y e^x^22 y^2) + e^y cdot f'(y e^x^22 y^2) cdot e^x^22 y^2 (1 - x^2y^2)

Passo 4

Agora, vamos substituir partial zpartial x e partial zpartial y na expressão original:
(x^2 - y^2) partial zpartial x + x y partial zpartial y
Substituindo:
(x^2 - y^2) [ e^y cdot f'(y e^x^22 y^2) cdot xy e^x^22 y^2 ] + x y [ e^y cdot f(y e^x^22 y^2) + e^y cdot f'(y e^x^22 y^2) cdot e^x^22 y^2 (1 - x^2y^2) ]
Simplificando:
e^y cdot f'(y e^x^22 y^2) cdot xy e^x^22 y^2 cdot (x^2 - y^2) + x y e^y cdot f(y e^x^22 y^2) + x y e^y cdot f'(y e^x^22 y^2) cdot e^x^22 y^2 (1 - x^2y^2)
Perceba que os termos com f' podem ser agrupados:
e^y cdot f'(y e^x^22 y^2) cdot e^x^22 y^2 cdot ( xy (x^2 - y^2) + x y (1 - x^2y^2) ) + x y e^y cdot f(y e^x^22 y^2)
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
xy (x^2 - y^2) + x y (1 - x^2y^2) = x^3y - x y + x y - x^3y = 0
Então, sobra apenas:
x y e^y cdot f(y e^x^22 y^2) = x y z

Resposta

Após simplificar, encontramos que:
(x^2 - y^2) partial zpartial x + x y partial zpartial y = x y z

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