Se
, mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função:
E devemos provar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos calcular
e
passo a passo.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Observe que
depende de
através da função
.
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando a derivada interna:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, aplicamos a regra da cadeia, mas agora temos duas partes que dependem de
: o
e o argumento de
.
Calculando a derivada interna:
Então:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na expressão original:
Substituindo:
Simplificando:
Perceba que os termos com
podem ser agrupados:
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Então, sobra apenas:
Resposta
Após simplificar, encontramos que:
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla
onde D é a região triangular com vértices
e
.
Calcule os limites abaixo.
.
Se
, mostre que
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do parabolóide hiperbólico
e acima da região limitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante.