Se , mostre que

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função e queremos mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e entender como essas derivadas se comportam quando a função depende de razões como e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Para isso, precisamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia, já que é o produto de e outra função que depende de .
Sabemos que . Agora, precisamos calcular .

Passo 3

Vamos chamar e para simplificar. Assim, a derivada da função em relação a usando a regra da cadeia é:
Calculando as derivadas parciais de e em relação a :
Então:

Passo 4

Voltando à derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Para :
Para :

Passo 6

Agora, vamos substituir todas as derivadas que calculamos na expressão que queremos provar:
Substituindo cada termo:
Vamos distribuir o :

Passo 7

Observamos que os termos e se cancelam, assim como e .
Então, sobra apenas:
Lembrando que e , temos:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Se , mostre que
Calcule a integral dupla
onde D é a região triangular com vértices e .
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do parabolóide hiperbólico e acima da região limitada pelas curvas e no primeiro quadrante.
Dada a equação
onde e são constantes, determine as constantes e de tal modo que, ao usarmos a mudança de variáveis e , a expressão acima resulta em