Se
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
e queremos mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e entender como essas derivadas se comportam quando a função depende de razões como
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Para isso, precisamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia, já que
é o produto de
e outra função que depende de
.
Sabemos que
. Agora, precisamos calcular
.
Passo 3
Vamos chamar
e
para simplificar. Assim, a derivada da função
em relação a
usando a regra da cadeia é:
Calculando as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Então:
Passo 4
Voltando à derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos substituir todas as derivadas que calculamos na expressão que queremos provar:
Substituindo cada termo:
Vamos distribuir o
:
Passo 7
Observamos que os termos
e
se cancelam, assim como
e
.
Então, sobra apenas:
Lembrando que
e
, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Se
, mostre que
Calcule a integral dupla
onde D é a região triangular com vértices
e
.
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do parabolóide hiperbólico
e acima da região limitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante.
Dada a equação
onde
e
são constantes, determine as constantes
e
de tal modo que, ao usarmos a mudança de variáveis
e
, a expressão acima resulta em