Se omega=x^3 f(yx, zx), mostre que
x partial omegapartial x+y partial omegapartial y+z partial omegapartial z=3 x^3 f(yx, zx)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função x partial omegapartial x + y partial omegapartial y + z partial omegapartial z = 3 x^3 f(yx, zx) e queremos mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e entender como essas derivadas se comportam quando a função depende de razões como e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial omegapartial x = partialpartial x(x^3) cdot f(yx, zx) + x^3 cdot partialpartial x f(yx, zx) em relação a . Para isso, precisamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia, já que é o produto de e outra função que depende de .
Sabemos que . Agora, precisamos calcular .

Passo 3

Vamos chamar partialpartial x f(u, v) = partial fpartial u cdot partial upartial x + partial fpartial v cdot partial vpartial x e partial upartial x = partialpartial x(yx) = -yx^2 para simplificar. Assim, a derivada da função partial vpartial x = partialpartial x(zx) = -zx^2 em relação a partialpartial x f(u, v) = partial fpartial u (-yx^2) + partial fpartial v (-zx^2) = -yx^2 partial fpartial u - zx^2 partial fpartial v usando a regra da cadeia é:
Calculando as derivadas parciais de e em relação a :
Então:

Passo 4

Voltando à derivada de partial omegapartial x = 3x^2 f(u, v) + x^3 (-yx^2 partial fpartial u - zx^2 partial fpartial v) em relação a = 3x^2 f(u, v) - yx partial fpartial u - zx partial fpartial v :

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial omegapartial y = x^3 cdot partialpartial y f(yx, zx) em relação a = x^3 ( partial fpartial u cdot 1x + partial fpartial v cdot 0 ) = x^2 partial fpartial u e partial omegapartial z = x^3 cdot partialpartial z f(yx, zx) .
Para = x^3 ( partial fpartial u cdot 0 + partial fpartial v cdot 1x ) = x^2 partial fpartial v :
Para :

Passo 6

Agora, vamos substituir todas as derivadas que calculamos na expressão que queremos provar:
x partial omegapartial x + y partial omegapartial y + z partial omegapartial z
Substituindo cada termo:
x (3x^2 f(u, v) - yx partial fpartial u - zx partial fpartial v) + y (x^2 partial fpartial u) + z (x^2 partial fpartial v)
Vamos distribuir o 3x^3 f(u, v) - yx^2 partial fpartial u - zx^2 partial fpartial v + yx^2 partial fpartial u + zx^2 partial fpartial v :

Passo 7

Observamos que os termos 3x^3 f(u, v) e 3x^3 f(yx, zx) se cancelam, assim como e .
Então, sobra apenas:
Lembrando que e , temos:

Resposta

Portanto, mostramos que:
x partial omegapartial x + y partial omegapartial y + z partial omegapartial z = 3 x^3 f(yx, zx)

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