Calcule a integral dupla
na região indicada:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla
na região
definida por
e
. Isso tudo faz parte do estudo de Cálculo Multivariável, especificamente das integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração
. Ela é delimitada por
indo de 0 até 1 e, para cada valor de
,
varia de 0 até
. Essa região forma um triângulo no plano
, onde a hipotenusa é a linha
.
Passo 3
Para resolver a integral dupla, podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Isso porque a função
não depende de
, o que simplifica nossa conta.
Passo 4
Vamos integrar
. Como
é constante em relação a
, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos integrar o resultado obtido em relação a
:
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição (também conhecida como troca de variável). Seja
, então
, ou seja,
.
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Agora, a integral de
em relação a
é simplesmente
. Avaliando de 0 a 1:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Considere uma cônica dada pela equação
em que
e
. Sejam
e
a maior e a menor distância da cônica à origem, respectivamente. Prove que
Encontre uma expressão análoga para
.
Determine as distâncias máxima e mínima de um ponto da elipse
à reta
.
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
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