Calcule a integral dupla na região indicada:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla na região definida por e . Isso tudo faz parte do estudo de Cálculo Multivariável, especificamente das integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração . Ela é delimitada por indo de 0 até 1 e, para cada valor de , varia de 0 até . Essa região forma um triângulo no plano , onde a hipotenusa é a linha .

Passo 3

Para resolver a integral dupla, podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Isso porque a função não depende de , o que simplifica nossa conta.

Passo 4

Vamos integrar . Como é constante em relação a , a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos integrar o resultado obtido em relação a :
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição (também conhecida como troca de variável). Seja , então , ou seja, .

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
Agora, a integral de em relação a é simplesmente . Avaliando de 0 a 1:

Resposta

A integral dupla vale .

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