Calcule a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A na região indicada: integral duplaD e^y^2 d A ; D=(x, y) / 0 <= y <= 1 ; 0 <= x <= y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaD e^y^2 , dA na região D definida por 0 <= y <= 1 e 0 <= x <= y. Isso tudo faz parte do estudo de Cálculo Multivariável, especificamente das integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração D. Ela é delimitada por y indo de 0 até 1 e, para cada valor de y, x varia de 0 até y. Essa região forma um triângulo no plano xy, onde a hipotenusa é a linha x = y.

Passo 3

Para resolver a integral dupla, podemos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. Isso porque a função e^y^2 não depende de x, o que simplifica nossa conta.

Passo 4

Vamos integrar integral0^y e^y^2 , dx. Como e^y^2 é constante em relação a x, a integral fica:
integral0^y e^y^2 , dx = e^y^2 cdot (y - 0) = y e^y^2

Passo 5

Agora, precisamos integrar o resultado obtido em relação a y:
integral0^1 y e^y^2 , dy
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição (também conhecida como troca de variável). Seja u = y^2, então du = 2y , dy, ou seja, y , dy = du2.

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
integral0^1 y e^y^2 , dy = 12 integral0^1 e^u , du
Agora, a integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u. Avaliando de 0 a 1:
12 ( e^1 - e^0 ) = 12 (e - 1)

Resposta

A integral dupla vale e - 12.

Exercícios relacionados