Considere uma cônica dada pela equação em que e . Sejam e a maior e a menor distância da cônica à origem, respectivamente. Prove que
Encontre uma expressão análoga para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma expressão para , que representa a menor distância da cônica até a origem. Estamos lidando com conicas, especificamente uma elipse (já que e ). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e álgebra, principalmente trabalhando com a distância de um ponto a uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância de um ponto à origem para uma curva dada por uma equação pode ser encontrada minimizando a função distância. Para simplificar, podemos usar a fórmula da distância:
Mas como nosso objetivo é trabalhar com , podemos minimizar sujeito à restrição da cônica .
Passo 3
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos onde a distância é mínima ou máxima. Definimos a função:
Derivando parcialmente em relação a , e e igualando a zero, obtemos:
Passo 4
Vamos reorganizar as equações (1) e (2):
Podemos escrever essas equações como um sistema linear:
Para que haja soluções não triviais (ou seja, e diferentes de zero), o determinante do sistema deve ser zero:
Passo 5
Calculando o determinante:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 6
Essa é uma equação quadrática em . Vamos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando os termos dentro da raiz:
Então:
Mas simplificando corretamente os termos:
Na verdade, ao simplificar corretamente, obtemos:
Passo 7
Cada valor de corresponde a uma distância extrema (máxima ou mínima). O dado no enunciado corresponde ao caso com o na fórmula. Portanto, para encontrar , que é a menor distância, usamos o sinal :