Considere uma cônica dada pela equação A x^2 + B x y + C y^2 = 1 em que A > 0 e B^2 < A C. Sejam M e m a maior e a menor distância da cônica à origem, respectivamente. Prove que
M^2 = (A + C + raiz((A - C)^2 + 4 * B^2)) / (2 * (A * C - B^2))
Encontre uma expressão análoga para m^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma expressão para , que representa a menor distância da cônica até a origem. Estamos lidando com conicas, especificamente uma elipse (já que e ). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e álgebra, principalmente trabalhando com a distância de um ponto a uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância de um ponto à origem para uma curva dada por uma equação pode ser encontrada minimizando a função distância. Para simplificar, podemos usar a fórmula da distância:
Mas como nosso objetivo é trabalhar com , podemos minimizar sujeito à restrição da cônica .

Passo 3

Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos onde a distância é mínima ou máxima. Definimos a função:
Derivando parcialmente em relação a , e e igualando a zero, obtemos:

Passo 4

Vamos reorganizar as equações (1) e (2):
Podemos escrever essas equações como um sistema linear:
Para que haja soluções não triviais (ou seja, e diferentes de zero), o determinante do sistema deve ser zero:

Passo 5

Calculando o determinante:
Expandindo:
Simplificando:

Passo 6

Essa é uma equação quadrática em . Vamos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando os termos dentro da raiz:
Então:
Mas simplificando corretamente os termos:
Na verdade, ao simplificar corretamente, obtemos:

Passo 7

Cada valor de corresponde a uma distância extrema (máxima ou mínima). O dado no enunciado corresponde ao caso com o na fórmula. Portanto, para encontrar , que é a menor distância, usamos o sinal :

Resposta

A expressão análoga para é

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