Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:

Passo 1

Beleza, temos uma equação diferencial de variáveis separáveis: . Isso significa que a gente consegue separar as variáveis e em lados opostos da equação para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por e por , assim conseguimos colocar todos os termos com de um lado e com do outro:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre e :
Integrando o lado esquerdo, temos:
E no lado direito:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, juntando os resultados das integrais, ficamos com:
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 3:
Podemos renomear a constante simplesmente como , já que é apenas uma constante qualquer:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

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Calcule a integral dupla na região indicada:
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