Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
Beleza, temos uma equação diferencial de variáveis separáveis:
. Isso significa que a gente consegue separar as variáveis
e
em lados opostos da equação para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
e por
, assim conseguimos colocar todos os termos com
de um lado e com
do outro:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre
e
:
Integrando o lado esquerdo, temos:
E no lado direito:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, juntando os resultados das integrais, ficamos com:
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 3:
Podemos renomear a constante
simplesmente como
, já que é apenas uma constante qualquer:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.
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Calcule a integral dupla
na região indicada:
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
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