Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é de variáveis separáveis. A equação dada é:
Pra resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e para integrar cada lado da equação separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Podemos multiplicar ambos os lados por e dividir por :
Agora, temos de um lado e do outro, pronto pra integrar!

Passo 3

Vamos integrar cada lado da equação. Do lado esquerdo, temos:
E do lado direito:

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:

Passo 5

Juntando tudo, temos:
Onde é uma constante que engloba e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Calcule a integral dupla na região indicada:
Considere uma cônica dada pela equação em que e . Sejam e a maior e a menor distância da cônica à origem, respectivamente. Prove que
Encontre uma expressão análoga para .
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo: