Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é de variáveis separáveis. A equação dada é:
Pra resolver isso, vamos precisar separar as variáveis
e
para integrar cada lado da equação separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Podemos multiplicar ambos os lados por
e dividir por
:
Agora, temos
de um lado e
do outro, pronto pra integrar!
Passo 3
Vamos integrar cada lado da equação. Do lado esquerdo, temos:
E do lado direito:
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Passo 5
Juntando tudo, temos:
Onde
é uma constante que engloba
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla
na região indicada:
Considere uma cônica dada pela equação
em que
e
. Sejam
e
a maior e a menor distância da cônica à origem, respectivamente. Prove que
Encontre uma expressão análoga para
.
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo: