Calcule a integral dupla integral duplaD f(x, y) d x d y onde: f(x, y)=x e D a região entre as curvas: y=1-x, x=0 e y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde e é a região delimitada pelas curvas , e . Isso está relacionado ao cálculo de integrais em duas variáveis, especificamente integrais duplas sobre uma região no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. As curvas que delimitam são:
  1. : essa é uma reta que desce de quando até quando .
  2. : o eixo .
  3. : o eixo .
Então, a região é um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Agora, precisamos configurar a integral dupla. Geralmente, escolhemos a ordem de integração que facilita os cálculos. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Para isso, identificamos os limites de integração:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de , varia de 0 até (derivado da equação ).

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla:
integral duplaD x , dx , dy = integraly=0^1 ( integralx=0^1 - y x , dx ) dy
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a .

Passo 5

Vamos calcular a integral interna:
integral0^1 - y x , dx
A integral de x^22 em relação a x^22 |0^1 - y = (1 - y)^22 - 0 = (1 - y)^22 é:
Então, avaliamos de 0 a :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 (1 - y)^22 , dy
Podemos fatorar o 12 integral0^1 (1 - y)^2 , dy fora da integral:

Passo 7

Vamos expandir (1 - y)^2 = 1 - 2y + y^2 :
12 integral0^1 (1 - 2y + y^2) , dy
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
12 ( integral0^1 1 , dy - 2 integral0^1 y , dy + integral0^1 y^2 , dy )
Calculando cada integral:
integral0^1 1 , dy = y gr|0^1 = 1
integral0^1 y , dy = y^22 gr|0^1 = 12
integral0^1 y^2 , dy = y^33 gr|0^1 = 13

Passo 9

Substituindo de volta:
12 ( 1 - 2 cdot 12 + 13 ) = 12 (1 - 1 + 13) = 12 cdot 13 = 16

Resposta

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