Calcule a integral dupla onde: e a região entre as curvas: e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde e é a região delimitada pelas curvas , e . Isso está relacionado ao cálculo de integrais em duas variáveis, especificamente integrais duplas sobre uma região no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. As curvas que delimitam são:
: essa é uma reta que desce de quando até quando .
: o eixo .
: o eixo .
Então, a região é um triângulo com vértices em , e .
Passo 3
Agora, precisamos configurar a integral dupla. Geralmente, escolhemos a ordem de integração que facilita os cálculos. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Para isso, identificamos os limites de integração:
varia de 0 a 1.
Para cada valor de , varia de 0 até (derivado da equação ).
Passo 4
Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a .
Passo 5
Vamos calcular a integral interna:
A integral de em relação a é:
Então, avaliamos de 0 a :
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 (1 - y)^22 , dy
Podemos fatorar o 12 integral0^1 (1 - y)^2 , dy fora da integral:
Passo 7
Vamos expandir (1 - y)^2 = 1 - 2y + y^2 :
12 integral0^1 (1 - 2y + y^2) , dy
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
12 ( integral0^1 1 , dy - 2 integral0^1 y , dy + integral0^1 y^2 , dy )