Calcule a integral dupla onde: e a região entre as curvas: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde e é a região delimitada pelas curvas , e . Isso está relacionado ao cálculo de integrais em duas variáveis, especificamente integrais duplas sobre uma região no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. As curvas que delimitam são:
  1. : essa é uma reta que desce de quando até quando .
  2. : o eixo .
  3. : o eixo .
Então, a região é um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Agora, precisamos configurar a integral dupla. Geralmente, escolhemos a ordem de integração que facilita os cálculos. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Para isso, identificamos os limites de integração:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de , varia de 0 até (derivado da equação ).

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a .

Passo 5

Vamos calcular a integral interna:
A integral de em relação a é:
Então, avaliamos de 0 a :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos fatorar o fora da integral:

Passo 7

Vamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:

Passo 9

Substituindo de volta:

Resposta

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Determine .
10.
Determine as equações paramétricas da reta tangente a curva de intersecção do cone e o plano no ponto .
Calcule a integral dupla onde: e a região entre as curvas: e
Calcule a posição do centro de massa do perfil plano onde: é a região entre as curvas: e .