Calcule a posição do centro de massa do perfil plano D onde: D é a região entre as curvas: x=0, y=0 e y = a - (x^2)/a, a > 0.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a posição do centro de massa da região D. A região D está delimitada pelas curvas x = 0, y = 0 e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de centro de massa para áreas planas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. A curva intersecta o eixo y em (0, a) e o eixo x quando y = 0. Vamos encontrar o ponto de interseção:
Como x = 0 é um dos limites, consideramos x de 0 a a.

Passo 3

A fórmula para a coordenada $ \bar{x} $ do centro de massa é:
Aqui, é um elemento de área, que no nosso caso é porque estamos integrando em termos de .

Passo 4

Vamos calcular a área A da região D:
Calculando a integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral no numerador para :
Expandindo a expressão dentro da integral:

Passo 6

Finalmente, substituímos os valores na fórmula de :

Resposta

A posição do centro de massa é .

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