Calcule a posição
do centro de massa do perfil plano
onde:
é a região entre as curvas:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a posição
do centro de massa da região
. A região
está delimitada pelas curvas
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de centro de massa para áreas planas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. A curva
intersecta o eixo
em
e o eixo
quando
. Vamos encontrar o ponto de interseção:
Como
é um dos limites, consideramos
de
a
.
Passo 3
A fórmula para a coordenada $ \bar{x} $ do centro de massa é:
Aqui,
é um elemento de área, que no nosso caso é
porque estamos integrando em termos de
.
Passo 4
Vamos calcular a área
da região
:
Calculando a integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral no numerador para
:
Expandindo a expressão dentro da integral:
Passo 6
Finalmente, substituímos os valores na fórmula de
:
Resposta
A posição
do centro de massa é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla
onde:
e
a região entre as curvas:
e
Calcule a integral dupla
onde:
e
a região entre as curvas:
e
.
Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla
onde:
e
a região da elípse
, situada no segundo quadrante.
Obtenha as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
.
20.
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