Calcule a integral dupla integral duplaD f(x, y) d x d y onde: f(x, y)=y e D a região entre as curvas: y=a x e y=x^2- 2 a x, a>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que está entre as curvas e , onde . Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais duplas, onde precisamos entender bem a região de integração e definir os limites corretamente para integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se interceptam. Isso vai nos ajudar a identificar os limites de integração. Igualamos a x = x^2 - 2 a x com x^2 - 3 a x = 0 x(x - 3 a) = 0 x = 0 ou x = 3 a :
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos desenhar ou imaginar as curvas para entender qual delas está acima da outra no intervalo de y = a cdot a = a^2 y = a^2 - 2 a cdot a = a^2 - 2 a^2 = -a^2 a . Para isso, escolhemos um valor de entre 0 e 3a, digamos :
Como , vemos que está acima de nesse intervalo. Assim, nossos limites para vão de até , e para de 0 a .

Passo 4

Vamos montar a integral dupla usando esses limites. A integral fica:
integral duplaD y , d x d y = integral0^3 a integralx^2 - 2 a x^a x y , d y , d x
Primeiro, integramos em relação a integralx^2 - 2 a x^a x y , d y = [ 12 y^2 ]x^2 - 2 a x^a x = 12 (a x)^2 - 12 (x^2 - 2 a x)^2 , mantendo 12 a^2 x^2 - 12 (x^4 - 4 a x^3 + 4 a^2 x^2) = 12 a^2 x^2 - 12 x^4 + 2 a x^3 - 2 a^2 x^2 fixo:
- 12 x^4 + 2 a x^3 - 32 a^2 x^2
Simplificando:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^3 a ( - 12 x^4 + 2 a x^3 - 32 a^2 x^2 ) d x de 0 a - 12 cdot 15 x^5 + 2 a cdot 14 x^4 - 32 a^2 cdot 13 x^3 = - 110 x^5 + a2 x^4 - 12 a^2 x^3 :
- 110 (3 a)^5 + a2 (3 a)^4 - 12 a^2 (3 a)^3
Integrando termo a termo:
- 110 cdot 243 a^5 + a2 cdot 81 a^4 - 12 a^2 cdot 27 a^3 = -24.3 a^5 + 40.5 a^5 - 13.5 a^5
Avaliar de 0 a (-24.3 + 40.5 - 13.5) a^5 = 2.7 a^5 :
Calculando cada termo:
Somando:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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