Calcule a integral dupla onde: e a região entre as curvas: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que está entre as curvas e , onde . Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais duplas, onde precisamos entender bem a região de integração e definir os limites corretamente para integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se interceptam. Isso vai nos ajudar a identificar os limites de integração. Igualamos com :
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos desenhar ou imaginar as curvas para entender qual delas está acima da outra no intervalo de a . Para isso, escolhemos um valor de entre 0 e 3a, digamos :
Como , vemos que está acima de nesse intervalo. Assim, nossos limites para vão de até , e para de 0 a .

Passo 4

Vamos montar a integral dupla usando esses limites. A integral fica:
Primeiro, integramos em relação a , mantendo fixo:
Simplificando:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a :
Integrando termo a termo:
Avaliar de 0 a :
Calculando cada termo:
Somando:

Resposta

A integral dupla é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule a integral dupla onde: e a região entre as curvas: e .
Determine .
10.
Calcule a posição do centro de massa do perfil plano onde: é a região entre as curvas: e .
Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla onde: e a região da elípse , situada no segundo quadrante.