Calcule a integral dupla
onde:
e
a região entre as curvas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
, que está entre as curvas
e
, onde
. Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais duplas, onde precisamos entender bem a região de integração e definir os limites corretamente para integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se interceptam. Isso vai nos ajudar a identificar os limites de integração. Igualamos
com
:
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos desenhar ou imaginar as curvas para entender qual delas está acima da outra no intervalo de
a
. Para isso, escolhemos um valor de
entre 0 e 3a, digamos
:
Como
, vemos que
está acima de
nesse intervalo. Assim, nossos limites para
vão de
até
, e para
de 0 a
.
Passo 4
Vamos montar a integral dupla usando esses limites. A integral fica:
Primeiro, integramos em relação a
, mantendo
fixo:
Simplificando:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a
:
Integrando termo a termo:
Avaliar de 0 a
:
Calculando cada termo:
Somando:
Resposta
A integral dupla é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla
onde:
e
a região entre as curvas:
e
.
Determine
.
10.
10.
Calcule a posição
do centro de massa do perfil plano
onde:
é a região entre as curvas:
e
.
Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla
onde:
e
a região da elípse
, situada no segundo quadrante.