Determine r'(t).
10. r(t) = arctg(t) * 1 + t * cos(t) - raiz(t) * k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a derivada da função vetorial . Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, mais especificamente de derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar conhecer como derivar cada componente da função vetorial em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever claramente a função vetorial que temos:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções dos eixos , e , respectivamente.

Passo 3

Para encontrar , precisamos derivar cada componente de em relação a . A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes.

Passo 4

Vamos derivar a primeira componente: .
Sabemos que a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, a segunda componente: .
Aqui, precisamos usar a regra do produto, que diz que .
Aplicando isso:

Passo 6

Por fim, a terceira componente: .
A derivada de em relação a é:
Portanto, a derivada da terceira componente é:

Resposta

Juntando todas as derivadas das componentes, temos:

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