Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla integral duplaD f(x, y) d x d y onde: f(x, y)=y e D a região da elípse x^2a^2+y^2b^2=1, situada no segundo quadrante.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral dupla da função sobre a região , que é a parte da elipse definida por situada no segundo quadrante. Para resolver isso, vamos utilizar a mudança de variáveis, o que vai nos ajudar a simplificar a região de integração.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma mudança de variáveis que transforme a elipse em um círculo unitário. Isso facilita bastante os cálculos. Vamos definir novas variáveis x = a cdot u y = b cdot v e (a u)^2a^2 + (b v)^2b^2 = u^2 + v^2 = 1 da seguinte forma:
Com essa mudança, a equação da elipse se torna:
Agora, a região transformada é o círculo unitário , mas ainda restrita ao segundo quadrante, ou seja, e .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a área de integração. O Jacobiano J = | partial(x, y)partial(u, v) | = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = a & 0 0 & b = a cdot b é dado por:
[
J = \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right| =
dx , dy = |J| , du , dv = a cdot b , du , dv


= a \cdot b
]
Então, o elemento de área se transforma em:

Passo 4

Vamos reescrever a função f(x, y) = y = b cdot v em termos das novas variáveis integral duplaD y , dx , dy = integral duplaC b cdot v cdot a cdot b , du , dv = a cdot b^2 integral duplaC v , du , dv e :
Substituindo na integral dupla, temos:
Onde é o círculo unitário no segundo quadrante.

Passo 5

Para facilitar a integração sobre o círculo unitário, vamos usar coordenadas polares. Definimos:
u = r costheta v = r sintheta
Com a cdot b^2 integralpi2^pi integral0^1 (r sintheta) cdot r , dr , dtheta = a cdot b^2 integralpi2^pi integral0^1 r^2 sintheta , dr , dtheta e (já que estamos no segundo quadrante). O Jacobiano dessa transformação é , então .
Substituindo na integral, temos:

Passo 6

Vamos resolver a integral em integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13 primeiro:
a cdot b^2 cdot 13 integralpi2^pi sintheta , dtheta
Agora, substituímos de volta na integral:
integralpi2^pi sintheta , dtheta = [ -costheta ]pi2^pi = -cospi + cos(pi2) = -(-1) + 0 = 1
Integrando em a cdot b^2 cdot 13 cdot 1 = a cdot b^23 :
Portanto, a integral total é:

Resposta

A integral dupla vale .

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