Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla onde: e a região da elípse , situada no segundo quadrante.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral dupla da função sobre a região , que é a parte da elipse definida por situada no segundo quadrante. Para resolver isso, vamos utilizar a mudança de variáveis, o que vai nos ajudar a simplificar a região de integração.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma mudança de variáveis que transforme a elipse em um círculo unitário. Isso facilita bastante os cálculos. Vamos definir novas variáveis e da seguinte forma:
Com essa mudança, a equação da elipse se torna:
Agora, a região transformada é o círculo unitário , mas ainda restrita ao segundo quadrante, ou seja, e .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a área de integração. O Jacobiano é dado por:
[
J = \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right| =


= a \cdot b
]
Então, o elemento de área se transforma em:

Passo 4

Vamos reescrever a função em termos das novas variáveis e :
Substituindo na integral dupla, temos:
Onde é o círculo unitário no segundo quadrante.

Passo 5

Para facilitar a integração sobre o círculo unitário, vamos usar coordenadas polares. Definimos:
Com e (já que estamos no segundo quadrante). O Jacobiano dessa transformação é , então .
Substituindo na integral, temos:

Passo 6

Vamos resolver a integral em primeiro:
Agora, substituímos de volta na integral:
Integrando em :
Portanto, a integral total é:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Calcule a posição do centro de massa do perfil plano onde: é a região entre as curvas: e .
Calcule a integral dupla onde: e a região entre as curvas: e
Obtenha as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de no ponto em que .
20.
Nos Exercícios de 23 a 26 , prove que existe.