Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla onde: e a região da elípse , situada no segundo quadrante.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral dupla da função sobre a região , que é a parte da elipse definida por situada no segundo quadrante. Para resolver isso, vamos utilizar a mudança de variáveis, o que vai nos ajudar a simplificar a região de integração.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma mudança de variáveis que transforme a elipse em um círculo unitário. Isso facilita bastante os cálculos. Vamos definir novas variáveis e da seguinte forma:
Com essa mudança, a equação da elipse se torna:
Agora, a região transformada é o círculo unitário, mas ainda restrita ao segundo quadrante, ou seja, e .
Passo 3
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a área de integração. O Jacobiano é dado por:
[
J = \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right| =
= a \cdot b
]
Então, o elemento de área se transforma em:
Passo 4
Vamos reescrever a função f(x, y) = y = b cdot v em termos das novas variáveis integral duplaD y , dx , dy = integral duplaC b cdot v cdot a cdot b , du , dv = a cdot b^2 integral duplaC v , du , dv e :
Substituindo na integral dupla, temos:
Onde é o círculo unitário no segundo quadrante.
Passo 5
Para facilitar a integração sobre o círculo unitário, vamos usar coordenadas polares. Definimos:
u = r costheta v = r sintheta
Com a cdot b^2 integralpi2^pi integral0^1 (r sintheta) cdot r , dr , dtheta = a cdot b^2 integralpi2^pi integral0^1 r^2 sintheta , dr , dtheta e (já que estamos no segundo quadrante). O Jacobiano dessa transformação é , então .
Substituindo na integral, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral em integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13 primeiro:
a cdot b^2 cdot 13 integralpi2^pi sintheta , dtheta