Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariable! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função dada:
Para isso, vamos usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a
e
, encontrar os pontos críticos e depois analisar a concavidade para identificar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais mostram como a função muda quando variamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por 6:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos isolar
:
Substituindo isso na segunda equação:
Agora temos:
Vamos substituir
da primeira equação na segunda. De
, temos
. Substituindo na segunda equação:
Dividindo ambos os lados por
(considerando
):
Agora, substituindo
na equação
:
Então, temos um ponto crítico:
.
Passo 5
Também devemos considerar a possibilidade de
. Se
, da primeira equação
, temos
, ou seja,
. Portanto, outro ponto crítico é
.
Resumindo, os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Agora, vamos aplicar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desses pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
O teste da segunda derivada usa o discriminante
, dado por:
Passo 7
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para o ponto
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Para o ponto
:
Como
e
, o ponto
é um mínimo local.
Resposta
A função possui:
- Um ponto de sela em
. - Um mínimo local em
.
Não há pontos de máximo local.