Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
z = 2*x^3 + 2*y^3 - 36*x*y + 430

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariable! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função dada:
Para isso, vamos usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a e , encontrar os pontos críticos e depois analisar a concavidade para identificar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais mostram como a função muda quando variamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por 6:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos isolar :
Substituindo isso na segunda equação:
Agora temos:
Vamos substituir da primeira equação na segunda. De , temos . Substituindo na segunda equação:
Dividindo ambos os lados por (considerando ):
Agora, substituindo na equação :
Então, temos um ponto crítico: .

Passo 5

Também devemos considerar a possibilidade de . Se , da primeira equação , temos , ou seja, . Portanto, outro ponto crítico é .
Resumindo, os pontos críticos são e .

Passo 6

Agora, vamos aplicar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desses pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
O teste da segunda derivada usa o discriminante , dado por:

Passo 7

Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para o ponto :
Como , o ponto é um ponto de sela.
Para o ponto :
Como e , o ponto é um mínimo local.

Resposta

A função possui:
  • Um ponto de sela em .
  • Um mínimo local em .
Não há pontos de máximo local.

Exercícios relacionados