Resolva as equações de segunda ordem:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem:
. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), onde lidamos com funções desconhecidas e suas derivadas. Para resolver essa equação, vamos precisar entender como usar a equação característica e trabalhar com funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para deixar tudo de um lado igual a zero. Temos:
Isso nos ajuda a identificar os coeficientes da equação diferencial de forma mais clara.
Passo 3
Agora, vamos supor que a solução tem a forma de uma função exponencial:
, onde
é uma constante a ser determinada. Essa suposição é útil porque as derivadas de funções exponenciais são proporcionais a elas mesmas.
Passo 4
Calculando as derivadas de
:
Substituímos essas expressões na equação rearranjada:
Passo 5
Podemos fatorar
(que nunca é zero) para simplificar:
Assim, a equação característica é:
Ou seja:
Passo 6
Resolvendo a equação característica
:
Portanto, as raízes são:
Passo 7
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes:
Simplificando:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes específicas.