Resolva as equações de segunda ordem:
y' = 2 y''.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem: . Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), onde lidamos com funções desconhecidas e suas derivadas. Para resolver essa equação, vamos precisar entender como usar a equação característica e trabalhar com funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para deixar tudo de um lado igual a zero. Temos:
Isso nos ajuda a identificar os coeficientes da equação diferencial de forma mais clara.

Passo 3

Agora, vamos supor que a solução tem a forma de uma função exponencial: , onde é uma constante a ser determinada. Essa suposição é útil porque as derivadas de funções exponenciais são proporcionais a elas mesmas.

Passo 4

Calculando as derivadas de :
Substituímos essas expressões na equação rearranjada:

Passo 5

Podemos fatorar (que nunca é zero) para simplificar:
Assim, a equação característica é:
Ou seja:

Passo 6

Resolvendo a equação característica :
Portanto, as raízes são:

Passo 7

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes:
Simplificando:
onde e são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes específicas.

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