Calcule a integral dupla. integral duplaD(y-x y^2) d A,
D=(x, y) mid 0 <= y <= 1,-y <= x <= 1+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla, que é uma ferramenta de cálculo usada para encontrar volumes ou áreas em regiões bidimensionais. A integral que temos é:
integral duplaD(y - x y^2) d A
E a região D está definida por:
D = (x, y) mid 0 <= y <= 1, -y <= x <= 1 + y
Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e como lidar com os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D onde vamos integrar. Ela é definida por dois intervalos:
  1. 0 <= y <= 1: Isso significa que y varia de 0 a 1.
  2. -y <= x <= 1 + y: Para cada valor de y, x varia de -y até 1 + y.
Vamos visualizar isso para ficar mais claro. Imagine um gráfico onde y vai de 0 a 1. Para cada y, x começa em -y e vai até 1 + y. Isso forma uma região triangular no plano xy.

Passo 3

Agora que entendemos a região D, vamos configurar a integral dupla. A integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada, ou seja, uma integral de uma integral.
Neste caso, como y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de -y a 1 + y, podemos escrever:
integraly=0^1 integralx=-y^1+y (y - x y^2) dx , dy
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 4

Vamos começar integrando a função interna, que é y - x y^2, com respeito a x:
integralx=-y^1+y (y - x y^2) dx
Vamos resolver essa integral termo a termo:
  1. Integrar y em relação a x:
    Como y é uma constante em relação a x, a integral de y em relação a x é:
    y cdot x
  2. Integrar -x y^2 em relação a x:
    Aqui, treat y^2 como constante:
    -y^2 cdot x^22
Então, a integral completa fica:
[ y cdot x - y^2 x^22 ]x=-y^1+y

Passo 5

Agora, vamos avaliar a expressão obtida nos limites de x = -y e x = 1 + y:
Primeiro, para x = 1 + y:
y(1 + y) - y^2(1 + y)^22
Depois, para x = -y:
y(-y) - y^2(-y)^22 = -y^2 - y^2y^22 = -y^2 - y^42
Agora, subtraímos o valor em x = -y do valor em x = 1 + y:
[ y(1 + y) - y^2(1 + y)^22 ] - [ -y^2 - y^42 ]
Simplificando isso:
y + y^2 - y^2(1 + 2y + y^2)2 + y^2 + y^42
Distribuindo e combinando termos semelhantes:
y + y^2 - y^2 + 2y^3 + y^42 + y^2 + y^42
y + y^2 - y^22 - y^3 - y^42 + y^2 + y^42
Os termos com y^4 cancelam:
y + y^2 - y^22 - y^3 + y^2
Combinando os termos de y^2:
y + (y^2 - y^22 + y^2) - y^3 = y + (2y^22 - y^22) - y^3 = y + y^22 - y^3

Passo 6

Agora, precisamos integrar essa expressão resultante em relação a y, de 0 a 1:
integral0^1 (y + y^22 - y^3) dy
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integrar y:
    y^22
  2. Integrar y^22:
    12 cdot y^33 = y^36
  3. Integrar -y^3:
    - y^44
Então, a integral completa fica:
[ y^22 + y^36 - y^44 ]0^1
Agora, avaliamos nos limites de y = 1 e y = 0:
Para y = 1:
1^22 + 1^36 - 1^44 = 12 + 16 - 14
Para y = 0:
Todos os termos são zero.
Subtraindo:
12 + 16 - 14 - 0
Vamos achar um denominador comum, que é 12:
612 + 212 - 312 = 512

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é 512.

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