Calcule a integral dupla.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla, que é uma ferramenta de cálculo usada para encontrar volumes ou áreas em regiões bidimensionais. A integral que temos é:
E a região
está definida por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e como lidar com os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde vamos integrar. Ela é definida por dois intervalos:
-
: Isso significa que varia de 0 a 1. -
: Para cada valor de , varia de até .
Vamos visualizar isso para ficar mais claro. Imagine um gráfico onde
vai de 0 a 1. Para cada
,
começa em
e vai até
. Isso forma uma região triangular no plano xy.
Passo 3
Agora que entendemos a região
, vamos configurar a integral dupla. A integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada, ou seja, uma integral de uma integral.
Neste caso, como
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a
, podemos escrever:
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 4
Vamos começar integrando a função interna, que é
, com respeito a
:
Vamos resolver essa integral termo a termo:
-
Integrar
em relação a :
Comoé uma constante em relação a , a integral de em relação a é: -
Integrar
em relação a :
Aqui, treatcomo constante:
Então, a integral completa fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a expressão obtida nos limites de
e
:
Primeiro, para
:
Depois, para
:
Agora, subtraímos o valor em
do valor em
:
Simplificando isso:
Distribuindo e combinando termos semelhantes:
Os termos com
cancelam:
Combinando os termos de
:
Passo 6
Agora, precisamos integrar essa expressão resultante em relação a
, de 0 a 1:
Vamos integrar termo a termo:
-
Integrar
: -
Integrar
: -
Integrar
:
Então, a integral completa fica:
Agora, avaliamos nos limites de
e
:
Para
:
Para
:
Todos os termos são zero.
Subtraindo:
Vamos achar um denominador comum, que é 12:
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é
.