Calcule a integral dupla. Limitada pelos planos y = 0, z = 0, y = x e 6x + 2y + 3z = 6

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular uma integral dupla, que basicamente soma valores em uma região específica do espaço. Essa região é delimitada pelos planos , , e . Vamos resolver isso passo a passo usando cálculo integral e um pouco de geometria.

Passo 2

Primeiro, precisamos visualizar a região de integração. Os planos e nos mostram que varia de 0 até . Já o plano nos ajuda a expressar em termos de e a partir da equação .

Passo 3

Vamos resolver a equação do plano para :
Agora sabemos que varia de 0 até .

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla. Como queremos integrar sobre e , nossos limites de integração para vão de 0 a , e para , precisamos determinar os limites.
Observando a equação para , quando :
Como e , temos que varia de 0 a 1 (porque quando , ).
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :
Simplificando:
Agora, integramos essa expressão em relação a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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