Calcule a integral dupla. Limitada pelos planos
e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular uma integral dupla, que basicamente soma valores em uma região específica do espaço. Essa região é delimitada pelos planos
,
,
e
. Vamos resolver isso passo a passo usando cálculo integral e um pouco de geometria.
Passo 2
Primeiro, precisamos visualizar a região de integração. Os planos
e
nos mostram que
varia de 0 até
. Já o plano
nos ajuda a expressar
em termos de
e
a partir da equação
.
Passo 3
Vamos resolver a equação do plano para
:
Agora sabemos que
varia de 0 até
.
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla. Como queremos integrar sobre
e
, nossos limites de integração para
vão de 0 a
, e para
, precisamos determinar os limites.
Observando a equação para
, quando
:
Como
e
, temos que
varia de 0 a 1 (porque quando
,
).
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Simplificando:
Agora, integramos essa expressão em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.