Calcule a integral dupla.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
está definida por
e
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em regiões bidimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde vamos integrar. A variável
varia de
até
, e para cada valor de
, o
varia de
até
. Isso significa que estamos integrando sobre uma área que depende de
.
Passo 3
Vamos configurar a integral dupla. Com os limites que definimos, a integral fica assim:
Aqui, a gente primeiro integra em relação a
e depois em relação a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. Como
é constante em relação a
, podemos tirar ele da integral:
A integral de
em relação a
é
, então substituindo os limites:
Passo 5
Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa, que é em relação a
:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Deixe
, então
. Ajustando os limites:
- Quando
, - Quando
,
A integral fica:
Passo 6
Agora, integraremos
em relação a
:
Resposta
A integral dupla
é igual a
.