Calcule a integral dupla. integral duplaD x sen y d A,
D=(x, y) mid 0 <= y <= pi / 2,0 <= x <= cos y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região está definida por e . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. A variável varia de até , e para cada valor de , o varia de até . Isso significa que estamos integrando sobre uma área que depende de .

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla. Com os limites que definimos, a integral fica assim:
integral0^pi2 integral0^cos y x sen y , dx , dy
Aqui, a gente primeiro integra em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a sen y integral0^cos y x , dx . Como sen y [ 12 (cos y)^2 - 12(0)^2 ] = 12 sen y cos^2 y é constante em relação a , podemos tirar ele da integral:
A integral de em relação a é , então substituindo os limites:

Passo 5

Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa, que é em relação a 12 integral0^pi2 sen y cos^2 y , dy :
-12 integral1^0 u^2 , du = 12 integral0^1 u^2 , du
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Deixe , então . Ajustando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
A integral fica:

Passo 6

Agora, integraremos 12 [ 13 u^3 ]0^1 = 12 ( 13(1)^3 - 13(0)^3 ) = 12 cdot 13 = 16 em relação a :

Resposta

A integral dupla é igual a .

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