Calcule a integral dupla.
Passo 1
OK, vamos resolver esse exercício de cálculo integral dupla. A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Vamos usar o conteúdo de integrais duplas para isso e precisar entender bem os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde vamos integrar. Temos que
varia de 0 a 1. Para cada valor de
,
varia de
até
. Isso significa que a região
está entre as curvas
e
no intervalo de
de 0 a 1.
Passo 3
Vamos desenhar essas curvas para visualizar melhor. A curva
é uma parábola que abre para cima, e
é a metade superior de uma parábola que abre para a direita. Entre
e
, a curva
está acima de
.
Passo 4
Agora, montamos a integral dupla. Como
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a
, a integral fica assim:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que �� em relação a
. A integral de
em relação a
é:
Avaliada de
a
, fica:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Avaliada de 0 a 1:
Resposta
A integral dupla
é igual a
.