Calcule a integral dupla. integral duplaD x y d A, D=(x, y) mid 0 <= x <= 1, x^2 <= y <= raizx

Passo 1

OK, vamos resolver esse exercício de cálculo integral dupla. A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é definida por e . Vamos usar o conteúdo de integrais duplas para isso e precisar entender bem os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Temos que varia de 0 a 1. Para cada valor de , varia de até . Isso significa que a região está entre as curvas e no intervalo de de 0 a 1.

Passo 3

Vamos desenhar essas curvas para visualizar melhor. A curva é uma parábola que abre para cima, e é a metade superior de uma parábola que abre para a direita. Entre e , a curva está acima de .

Passo 4

Agora, montamos a integral dupla. Como integral0^1 integralx^2^raizx x y , dy , dx varia de 0 a 1 e, para cada , varia de a , a integral fica assim:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que �� em relação a integral x y , dy = x integral y , dy = x ( y^22 ) . A integral de x ( (raizx)^22 - (x^2)^22 ) = x ( x2 - x^42 ) = x^22 - x^52 em relação a é:
Avaliada de a , fica:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 ( x^22 - x^52 ) dx = 12 integral0^1 (x^2 - x^5) , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral:
12 ( integral x^2 , dx - integral x^5 , dx ) = 12 ( x^33 - x^66 )
Avaliada de 0 a 1:
12 ( 1^33 - 1^66 - ( 0^33 - 0^66 ) ) = 12 ( 13 - 16 ) = 12 ( 16 ) = 112

Resposta

A integral dupla é igual a .

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