Se
é o círculo
com a orientação anti-horária, calcule
.
a)
b)
c)
d) 0
e)
.
a)
b)
c)
d) 0
e)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de contorno
, onde
é o círculo
com orientação anti-horária. Isso está dentro da matéria de Análise Complexa, especificamente usando o Teorema dos Resíduos. Vamos precisar identificar os polos da função dentro do contorno e aplicar o teorema para achar o valor da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os polos da função
. Os polos são os valores de
que fazem o denominador zero:
Então, temos dois polos:
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno
. O contorno é o círculo
, que está centrado no ponto
no plano complexo e tem raio 1.
Vamos calcular a distância de cada polo até o centro do círculo:
Para
:
Para
:
Então, apenas o polo
está dentro do contorno
.
Passo 4
Agora que identificamos que apenas
está dentro de
, vamos calcular o Resíduo dessa função nesse ponto. Para uma função da forma
onde
tem uma raiz simples em
, o resíduo é dado por:
No nosso caso,
e
. Então,
Portanto,
Passo 5
Com o resíduo calculado, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral de uma função ao redor de um contorno fechado é
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Neste caso, só temos um resíduo:
Resposta
A resposta correta é a)
.