Se C é o círculo |z-i|=1 com a orientação anti-horária, calcule integralC 2 z d zz^2+2.
a) 2 pi cdot i
b) 4 pi cdot i
c) -2 pi cdot i
d) 0
e) pi cdot i.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de contorno , onde é o círculo com orientação anti-horária. Isso está dentro da matéria de Análise Complexa, especificamente usando o Teorema dos Resíduos. Vamos precisar identificar os polos da função dentro do contorno e aplicar o teorema para achar o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os polos da função z^2 + 2 = 0 implies z^2 = -2 implies z = pm iraiz2 . Os polos são os valores de que fazem o denominador zero:
Então, temos dois polos: e .

Passo 3

Agora, vamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno |iraiz2 - i| = |raiz2i - i| = |(raiz2 - 1)i| = raiz2 - 1 approx 0,414 < 1 . O contorno é o círculo |-iraiz2 - i| = |-raiz2i - i| = |(-raiz2 - 1)i| = raiz2 + 1 approx 2,414 > 1 , que está centrado no ponto no plano complexo e tem raio 1.
Vamos calcular a distância de cada polo até o centro do círculo:
Para :
Para :
Então, apenas o polo está dentro do contorno .

Passo 4

Agora que identificamos que apenas Res(f, z0) = f(z0)g'(z0) está dentro de g'(z) = 2z , vamos calcular o Resíduo dessa função nesse ponto. Para uma função da forma Res(2zz^2 + 2, iraiz2) = 2 cdot iraiz22 cdot iraiz2 = 1 onde tem uma raiz simples em , o resíduo é dado por:
No nosso caso, e . Então,
Portanto,

Passo 5

Com o resíduo calculado, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral de uma função ao redor de um contorno fechado é integralC 2z, dzz^2 + 2 = 2pi i cdot 1 = 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Neste caso, só temos um resíduo:

Resposta

A resposta correta é a) .

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