Calcule a integral dupla:
c) integral duplaD^1 x raizy^2-x^2 d A, D=(x, y) / 0 <= y <= 1,0 <= x <= y.
Resp: 112

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular , onde a região é definida por e . Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela está no primeiro quadrante, onde varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 até . Isso significa que estamos integrando sobre um triângulo na área .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como integraly=0^1 integralx=0^y x raizy^2-x^2 , dx , dy varia de 0 a para cada de 0 a 1, nossa integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^y x raizy^2-x^2 , dx :
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar . Então, , o que implica .

Passo 5

Substituindo na integral:
integral x raizy^2-x^2 , dx = -12 integral raizu , du
Agora, vamos integrar -12 cdot 23 u^3/2 = -13 u^3/2 :
-13 (y^2 - x^2)^3/2
Voltando para :

Passo 6

Agora, avaliamos de -13 [(y^2 - y^2)^3/2 - (y^2 - 0)^3/2] = -13 [0 - y^3] = 13 y^3 a :

Passo 7

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
integral0^1 13 y^3 , dy = 13 integral0^1 y^3 , dy
Integrando 13 cdot y^44 g|0^1 = 13 cdot 14 = 112 :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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