Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular , onde a região é definida por e . Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Ela está no primeiro quadrante, onde varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 até . Isso significa que estamos integrando sobre um triângulo na área .
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Como varia de 0 a para cada de 0 a 1, nossa integral fica assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar . Então, , o que implica .
Passo 5
Substituindo na integral:
Agora, vamos integrar :
Voltando para :
Passo 6
Agora, avaliamos de a :
Passo 7
Agora, substituímos o resultado na integral externa: