Calcule a integral dupla:
c) .
Resp:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular , onde a região é definida por e . Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela está no primeiro quadrante, onde varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 até . Isso significa que estamos integrando sobre um triângulo na área .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como varia de 0 a para cada de 0 a 1, nossa integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar . Então, , o que implica .

Passo 5

Substituindo na integral:
Agora, vamos integrar :
Voltando para :

Passo 6

Agora, avaliamos de a :

Passo 7

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Integrando :

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Considere a função dada por . Faça o que se pede:
a) Justifique com um contra-exemplo o porquê da função não ser injetora.
b) Restrinja o domínio da função f para que a função se torne injetora.
c) Justifique com um contra-exemplo o porquê da função f não ser sobrejetora.
d) restrinja o contra-domínio da função f para que a função se torne sobrejetora.
Considere a função dada por .
a) Calcule f(8).
b) Calcule .
c) Calcule .
Encontre um polinômio cujas raízes sejam-2,-1, 1 e 4, todas com multiplicidade 1.
Seja uma função bijetora, então se , quanto vale ?