Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é dada por:
onde a região é definida por e .
Matéria envolvida: Estamos lidando com integrais duplas, que são usadas para calcular o volume sob uma superfície em uma região bidimensional. Vamos precisar conhecer como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que podemos calcular essa integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez, mantendo a outra constante.
Nesse caso, podemos escolher integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Então, nossa integral fica assim:
Passo 3
Vamos focar na integral interna primeiro:
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos fatorar isso para fora da integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de em relação a :
Passo 5
Substituindo o resultado da integral interna de volta na expressão original, temos:
Então, nossa integral dupla agora se torna:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral em relação a :
Sabemos que a antiderivada de é . Então:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos pelo fator que ficou fora da integral: