Calcule integral dupla
integral duplaD x^21+y^2 d x d y, onde D: 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é dada por:
integral duplaD x^21+y^2 , dx , dy
onde a região é definida por e .
Matéria envolvida: Estamos lidando com integrais duplas, que são usadas para calcular o volume sob uma superfície em uma região bidimensional. Vamos precisar conhecer como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que podemos calcular essa integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez, mantendo a outra constante.
Nesse caso, podemos escolher integrar primeiro em relação a integraly=0^1 ( integralx=0^1 x^21+y^2 , dx ) dy e depois em relação a . Então, nossa integral fica assim:

Passo 3

Vamos focar na integral interna primeiro:
integralx=0^1 x^21+y^2 , dx
Aqui, 11+y^2 integralx=0^1 x^2 , dx é uma constante em relação a , então podemos fatorar isso para fora da integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de integralx=0^1 x^2 , dx = x^33 |0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 em relação a :

Passo 5

Substituindo o resultado da integral interna de volta na expressão original, temos:
11+y^2 times 13 = 13(1+y^2)
Então, nossa integral dupla agora se torna:
13 integraly=0^1 11+y^2 , dy

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral em relação a integraly=0^1 11+y^2 , dy :
arctan(y) |0^1 = arctan(1) - arctan(0) = pi4 - 0 = pi4
Sabemos que a antiderivada de é . Então:

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelo fator que ficou fora da integral:
13 times pi4 = pi12

Resposta

O valor da integral dupla é .

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