Calcule integral dupla
, onde D: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é dada por:
onde a região é definida por e .
Matéria envolvida: Estamos lidando com integrais duplas, que são usadas para calcular o volume sob uma superfície em uma região bidimensional. Vamos precisar conhecer como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que podemos calcular essa integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez, mantendo a outra constante.
Nesse caso, podemos escolher integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Então, nossa integral fica assim:

Passo 3

Vamos focar na integral interna primeiro:
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos fatorar isso para fora da integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de em relação a :

Passo 5

Substituindo o resultado da integral interna de volta na expressão original, temos:
Então, nossa integral dupla agora se torna:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral em relação a :
Sabemos que a antiderivada de é . Então:

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelo fator que ficou fora da integral:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Calcule integral dupla
, onde .
Calcule integral dupla
, onde é a região delimitada por .