Duas fontes pontuais de som de comprimento de onda idênticos estão separadas por uma distância . As fontes estão em fase. (a) Quantos pontos de máximo são encontrados ao longo de um círculo grande contendo as duas fontes. (b) E quantos pontos de mínimo?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos duas fontes de som que emitem com o mesmo comprimento de onda, , e estão separadas por uma distância . Essas fontes estão em fase, ou seja, elas começam a emitir o som ao mesmo tempo. A matéria que vamos usar aqui é a interferência de ondas sonoras, onde as ondas das duas fontes podem se reforçar (máximos) ou se cancelar (mínimos). Para resolver, a gente vai precisar entender como calcular os pontos de máximo e mínimo ao longo de um círculo grande que envolve as duas fontes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a interferência funciona. Quando duas ondas sonoras se encontram, elas interferem de duas maneiras:
  • Máximos de intensidade (construtiva): Quando as duas ondas estão em fase, ou seja, os crests das ondas coincidem. Isso acontece quando a diferença de caminho é múltiplo de , ou seja, , onde é um número inteiro (0,1,2,…).
  • Mínimos de intensidade (destrutiva): Quando uma onda está em fase oposta à outra, ou seja, o crest de uma coincide com o vale da outra. Isso ocorre quando a diferença de caminho é múltiplo de , mas não de , ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular quantos máximos existem ao longo do círculo. A condição para máximo é , e a separação nos dá o máximo valor de que pode ocorrer.
  • A equação fica .
  • Sabendo que , temos .
  • Como , o valor máximo de é 2.
  • Assim, os valores possíveis de são 0, 1 e 2.
  • Cada valor de (exceto , que acontece somente uma vez) corresponde a dois pontos no círculo (um de cada lado), então:
    • Para : 1 ponto
    • Para : 2 pontos
    • Para : 2 pontos
  • Total de máximos: .

Passo 4

Agora, vamos calcular os mínimos. A condição para mínimo é .
  • A equação fica .
  • Substituindo , temos .
  • O valor de deve satisfazer .
  • Resolvendo, temos .
  • Então, os valores possíveis de são 0 e 1.
  • Cada valor de corresponde a dois pontos no círculo, então:
    • Para : 2 pontos
    • Para : 2 pontos
  • Total de mínimos: .

Resposta

(a) Existem 5 pontos de máximo ao longo do círculo.
(b) Existem 4 pontos de mínimo ao longo do círculo.

Exercícios relacionados

Uma onda de som caminha uniformemente em todas as direções a partir de uma fonte pontual. (a) Justifique a seguinte expressão para o deslocamento do meio a qualquer distância da fonte:
onde é uma constante. Qual é a dimensão da constante
Energia é transmitida a uma taxa por uma onda de freqüência uma corda com tensão . Qual é a nova taxa de transmissão de energia (a) se a tensão na corda é crescida de (b) se, no lugar, a freqüência de onda é decrescida a
Uma ambulância com uma sirene emitindo uma onda a 1600 Hz alcança e ultrapassa um ciclista que anda a . Depois de ter sido passado, o ciclista ouve uma freqüência de 1590 Hz . Qual a velocidade da ambulância?
Calcule integral dupla
, onde D: e .