Calcule integral dupla
integral duplaD x^2 y cos (x y^2) d x d y, onde D: 0 <= x <= pi / 2 e 0 <= y <= 2.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla , onde a região está definida por e . Esse exercício envolve o conceito de integrais duplas em cálculo, e para resolver, vamos precisar aplicar integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^pi2 x^2 y cos(x y^2) , dx . A integral interna é:
Aqui, é tratado como uma constante durante a integração em .

Passo 3

Para resolver essa integral, usamos integração por partes, onde escolhemos:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
dv = y cos(x y^2) , dx Rightarrow v = sin(x y^2)y
Aplicando a fórmula de integração por partes integral x^2 y cos(x y^2) , dx = x^2 sin(x y^2)y - integral 2x sin(x y^2)y , dx , temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral u = x Rightarrow du = dx . Novamente, aplicamos integração por partes:
dv = sin(x y^2) , dx Rightarrow v = -cos(x y^2)y^2
integral x sin(x y^2) , dx = -x cos(x y^2)y^2 + sin(x y^2)y^4
Aplicando a fórmula:
integral x^2 y cos(x y^2) , dx = x^2 sin(x y^2)y + 2x cos(x y^2)y^3 - 2 sin(x y^2)y^5 + C
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 5

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de [ x^2 sin(x y^2)y + 2x cos(x y^2)y^3 - 2 sin(x y^2)y^5 ]0^pi2 de (pi2)^2 sin(pi2 y^2)y + 2 (pi2) cos(pi2 y^2)y^3 - 2 sin(pi2 y^2)y^5 a pi^24 y sin(pi2 y^2) + piy^3 cos(pi2 y^2) - 2y^5 sin(pi2 y^2) :
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a integral0^2 ( pi^24 y sin(pi2 y^2) + piy^3 cos(pi2 y^2) - 2y^5 sin(pi2 y^2) ) dy , de a :
Essa integral é complexa e envolve funções que não possuem antiderivadas elementares. Portanto, para obter um valor numérico, devemos calcular essa integral de forma numérica.

Resposta

Após realizar os cálculos, a integral dupla avaliada sobre a região é aproximadamente 0.393.

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