Calcule integral dupla
, onde é a região delimitada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é delimitada pelas curvas e . Só pra gente ficar na mesma página, esse tipo de problema está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais duplas. Vamos precisar entender como definir os limites de integração com base nas curvas que delimitam a região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem a região . A região é delimitada por duas curvas:
  1. → Essa é uma parábola que abre para cima.
  2. → Podemos reescrever essa equação para facilitar: , que é uma reta.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber onde elas se encontram. Para isso, substituímos na equação da parábola:

Passo 3

Expandindo a equação:
Vamos rearranjar tudo para um lado:
Simplificando dividindo todos os termos por 4:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Assim, temos duas soluções:

Passo 4

Com os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de usando a equação da reta :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora, vamos visualizar a região . A parábola pode ser reescrita como , e a reta pode ser reescrita como .
Para definir os limites de integração, observamos que para cada valor de entre e , varia da parábola até a reta. Então, os limites para serão de até .

Passo 6

Agora que temos os limites de integração, podemos escrever a integral dupla:
Aqui, a ordem de integração escolhida é primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Simplificando:
Simplificando mais:

Passo 8

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de a :
Vamos integrar termo a termo:
Calculando as integrais:

Passo 9

Agora, vamos avaliar essa expressão de a :
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral dupla é 18.

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