Calcule a integral dupla.
é delimitada por
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
, onde a região
é delimitada pelas curvas
e
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais duplas, que servem para calcular áreas, volumes e outras grandezas em regiões bidimensionais. Para resolver isso, vamos precisar saber como determinar os limites de integração e como integrar funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a região
que estamos integrando. As curvas que delimitam
são
e
.
Para encontrar os pontos onde essas curvas se encontram, igualamos as duas expressões:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 4
Com isso, sabemos que
varia de
a
. Para cada valor de
nesse intervalo,
varia de
(a curva de baixo) até
(a curva de cima).
Portanto, os limites de integração são:
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a
. A função a ser integrada é
.
Integramos termo a termo:
Passo 7
Calculando cada integral:
Passo 8
Somando os resultados das duas integrais:
Passo 9
Agora, integramos esse resultado em relação a
, de
a
:
Passo 10
Calculando cada integral:
Passo 11
Substituindo de volta:
Resposta
A integral dupla vale
.