Calcule a integral dupla. integral duplaD(x^2+y) d A, D é delimitada por y=x^2, y=2-x^2

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde a região é delimitada pelas curvas e .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais duplas, que servem para calcular áreas, volumes e outras grandezas em regiões bidimensionais. Para resolver isso, vamos precisar saber como determinar os limites de integração e como integrar funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a região x^2 = 2 - x^2 que estamos integrando. As curvas que delimitam são e .
Para encontrar os pontos onde essas curvas se encontram, igualamos as duas expressões:

Passo 3

Resolvendo a equação:
x^2 + x^2 = 2 2x^2 = 2 x^2 = 1 x = pm1
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 4

Com isso, sabemos que -1 <= x <= 1 x^2 <= y <= 2 - x^2 varia de a . Para cada valor de nesse intervalo, varia de (a curva de baixo) até (a curva de cima).
Portanto, os limites de integração são:

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
integral duplaD(x^2+y) dA = integral-1^1 integralx^2^2 - x^2 (x^2 + y) dy , dx

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a integralx^2^2 - x^2 (x^2 + y) dy = integralx^2^2 - x^2 x^2 dy + integralx^2^2 - x^2 y , dy . A função a ser integrada é .
Integramos termo a termo:

Passo 7

Calculando cada integral:

Passo 8

Somando os resultados das duas integrais:
2x^2 - 2x^4 + 2 - 2x^2 = 2 - 2x^4

Passo 9

Agora, integramos esse resultado em relação a integral-1^1 (2 - 2x^4) dx = integral-1^1 2 , dx - 2 integral-1^1 x^4 , dx , de a :

Passo 10

Calculando cada integral:

Passo 11

Substituindo de volta:
4 - 2 times 25 = 4 - 45 = 205 - 45 = 165

Resposta

A integral dupla vale .

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