Calcule a integral dupla.
é a região triangular com vértice
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla
onde a região
é um triângulo com vértices em
,
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar a soma de uma função sobre uma área triangular. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região triangular
e depois aplicar a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região triangular
. Os vértices são
,
e
. Para definir os limites de integração, precisamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo.
-
A reta entre
e :
A inclinaçãoé , então a equação é . -
A reta entre
e :
A inclinaçãoé , então a equação é . -
A reta entre
e é o eixo , ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando a região
, podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Para um valor fixo de
entre 0 e 6:
- O limite inferior para
está na base do triângulo, que é . - O limite superior para
muda de acordo com : - De
a , a reta superior é . - De
a , a reta superior é .
- De
Passo 4
Agora, podemos escrever a integral dupla dividida em duas partes devido à mudança na reta superior:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a integral de
a
:
Integramos em relação a
:
Agora, a integral se torna:
Passo 6
Para resolver
, usamos a técnica de integração por partes repetidamente.
Primeira integração por partes:
Então:
Segunda integração por partes para
:
Então:
Substituindo de volta:
Portanto:
Passo 7
Agora, resolvemos a segunda integral de
a
:
Integramos em relação a
:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Expandindo
:
Então a integral fica:
Já sabemos que:
Substituindo:
Agora, avaliamos de
a
:
Resposta
Somando as duas partes que calculamos:
Portanto, a integral dupla é: