Calcule a integral dupla. integral duplaD y e^x d A
D é a região triangular com vértice (0,0),(2,4) e (6,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla
integral duplaD y e^x , dA
onde a região é um triângulo com vértices em , e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar a soma de uma função sobre uma área triangular. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região triangular e depois aplicar a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região triangular . Os vértices são , e . Para definir os limites de integração, precisamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo.
  • A reta entre e :
    A inclinação é , então a equação é .
  • A reta entre e :
    A inclinação é , então a equação é .
  • A reta entre e é o eixo , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando a região , podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Para um valor fixo de entre 0 e 6:
  • O limite inferior para está na base do triângulo, que é .
  • O limite superior para muda de acordo com :
    • De a , a reta superior é .
    • De a , a reta superior é .

Passo 4

Agora, podemos escrever a integral dupla dividida em duas partes devido à mudança na reta superior:
integral duplaD y e^x , dA = integral0^2 integral0^2x y e^x , dy , dx + integral2^6 integral0^-x+6 y e^x , dy , dx
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a integral de integral0^2 integral0^2x y e^x , dy , dx a integral0^2x y e^x , dy = e^x [ y^22 ]0^2x = e^x ( (2x)^22 - 0 ) = e^x cdot 2x^2 :
integral0^2 2x^2 e^x , dx
Integramos em relação a :
Agora, a integral se torna:

Passo 6

Para resolver u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx , usamos a técnica de integração por partes repetidamente.
Primeira integração por partes:
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - integral 2x e^x , dx
Então:
u = x Rightarrow du = dx
Segunda integração por partes para dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x :
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x
integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) = e^x(x^2 - 2x + 2)
Então:
integral0^2 2x^2 e^x , dx = 2 [ e^x(x^2 - 2x + 2) ]0^2 = 2 ( e^2(4 - 4 + 2) - e^0(0 - 0 + 2) ) = 2(2e^2 - 2) = 4e^2 - 4
Substituindo de volta:
Portanto:

Passo 7

Agora, resolvemos a segunda integral de integral2^6 integral0^-x+6 y e^x , dy , dx a integral0^-x+6 y e^x , dy = e^x [ y^22 ]0^-x+6 = e^x cdot (-x+6)^22 :
integral2^6 (-x+6)^22 e^x , dx
Integramos em relação a :
Então, a integral se torna:

Passo 8

Expandindo (-x+6)^2 = x^2 - 12x + 36 :
12 integral2^6 (x^2 - 12x + 36) e^x , dx = 12 ( integral x^2 e^x , dx - 12 integral x e^x , dx + 36 integral e^x , dx )
Então a integral fica:
integral x^2 e^x , dx = e^x(x^2 - 2x + 2)
Já sabemos que:
integral x e^x , dx = e^x(x - 1)
integral e^x , dx = e^x
12 [ e^x(x^2 - 2x + 2) - 12 e^x(x - 1) + 36 e^x ]2^6
Substituindo:
= 12 e^x ( x^2 - 2x + 2 - 12x + 12 + 36 )
= 12 e^x (x^2 - 14x + 50)
12 [ e^6(36 - 84 + 50) - e^2(4 - 28 + 50) ] = 12 [ e^6(2) - e^2(26) ] = e^6 - 13 e^2
Agora, avaliamos de a :

Resposta

Somando as duas partes que calculamos:
4e^2 - 4 + e^6 - 13 e^2 = e^6 - 9 e^2 - 4
Portanto, a integral dupla é:
integral duplaD y e^x , dA = e^6 - 9 e^2 - 4

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