Calcule.
integral x cos x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral integral x cos x^2 , dx. Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais que envolvem funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma maneira de simplificar integrais complicadas transformando-as em integrais mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Aqui, notamos que temos x^2 dentro do cosseno. Vamos chamar u = x^2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Então, derivando u = x^2, temos:
du = 2x , dx
Isso significa que x , dx = du2.

Passo 4

Substituindo u e x , dx na integral original, ficamos com:
integral x cos x^2 , dx = integral cos u cdot du2 = 12 integral cos u , du

Passo 5

Agora, a integral está mais simples: 12 integral cos u , du. Sabemos que a integral de cos u é sin u, então:
12 integral cos u , du = 12 sin u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por último, voltamos à variável original substituindo u = x^2:
12 sin u + C = 12 sin x^2 + C

Resposta

A integral integral x cos x^2 , dx é igual a 12 sin x^2 + C, onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados