Questão ( 8 pts) O sólido
é limitado superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cone definido em coordenadas esféricas por
. Suponha que a densidade em cada ponto seja dada pela função
. Calcule a massa de
.
(Obs.:
).
Cálculos:
Resposta:
(Obs.:
Cálculos:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a massa de um sólido
que está limitado acima por uma esfera de raio 1 e abaixo por um cone com ângulo
. A densidade nesse sólido é dada pela função
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas e integrar a função densidade sobre o volume do sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
-
: a distância do ponto à origem, -
: o ângulo no plano a partir do eixo , -
: o ângulo a partir do eixo para baixo.
A densidade dada é
. Em coordenadas esféricas, sabemos que
. Então, a densidade fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar do elemento de volume em coordenadas esféricas, que é:
A massa
é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração:
-
varia de 0 até 1 (já que a esfera tem raio 1), -
varia de 0 a (percorrendo toda a volta no plano ), -
varia de 0 a (do eixo até o cone).
Passo 5
Com os limites definidos, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a
:
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Simplificando a expressão final:
Resposta
A massa do sólido
é
.