3^a Questão ( 8 pts) O sólido E subset R^3 é limitado superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=1 e inferiormente pelo cone definido em coordenadas esféricas por phi=pi6. Suponha que a densidade em cada ponto seja dada pela função f(x, y, z)=1+(x^2+y^2+z^2). Calcule a massa de E.
(Obs.: m(E)=integral triplaE f d V ).
Cálculos:
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a massa de um sólido que está limitado acima por uma esfera de raio 1 e abaixo por um cone com ângulo . A densidade nesse sólido é dada pela função . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas e integrar a função densidade sobre o volume do sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
  • f(r) = 1 + r^2 : a distância do ponto à origem,
  • : o ângulo no plano a partir do eixo ,
  • : o ângulo a partir do eixo para baixo.
A densidade dada é . Em coordenadas esféricas, sabemos que . Então, a densidade fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar do elemento de volume em coordenadas esféricas, que é:
dV = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
A massa m(E) = integral triplaE f , dV = integral triplaE (1 + r^2) cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração:
  • varia de 0 até 1 (já que a esfera tem raio 1),
  • varia de 0 a (percorrendo toda a volta no plano ),
  • varia de 0 a (do eixo até o cone).

Passo 5

Com os limites definidos, a integral fica:
m(E) = integral0^2pi integral0^pi6 integral0^1 (1 + r^2) cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^1 (1 + r^2) cdot r^2 , dr = integral0^1 (r^2 + r^4) , dr = [ r^33 + r^55 ]0^1 = 13 + 15 = 815 :

Passo 7

Agora, a integral fica:
m(E) = 815 integral0^2pi integral0^pi6 sin phi , dphi , dtheta
Vamos integrar em relação a integral0^pi6 sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^pi6 = -cos(pi6) + cos(0) = -raiz32 + 1 = 1 - raiz32 :

Passo 8

Substituindo na integral:
m(E) = 815 (1 - raiz32) integral0^2pi dtheta = 815 (1 - raiz32) cdot 2pi = 16pi15 (1 - raiz32)

Passo 9

Simplificando a expressão final:
m(E) = 16pi15 (1 - raiz32) = 16pi15 cdot 2 - raiz32 = 8pi (2 - raiz3)15

Resposta

A massa do sólido é .

Exercícios relacionados