Mostre que as funções abaixo são diferenciáveis na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que duas funções são diferenciáveis na origem. Diferenciabilidade é um conceito da matemática que, de forma simples, diz se uma função tem uma boa aproximação linear perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se as condições necessárias estão presentes para as funções dadas na origem.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função . Ela é definida assim:
Precisamos verificar se é diferenciável em . Para isso, vamos seguir alguns passos:
Existência das Derivadas Parciais: Precisamos calcular as derivadas parciais de em .
Continuidade das Derivadas Parciais: Verificar se as derivadas parciais são contínuas em .
Limite do Quotiente da Diferença: Confirmar que o limite que define a diferenciabilidade existe.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de em .
A derivada parcial de em relação a é:
Calculando :
Então:
De forma similar, a derivada parcial em relação a é:
Calculando :
Então:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais e , vamos verificar a continuidade dessas derivadas perto de .
Para , as derivadas parciais de são:
Observando esses resultados, vemos que conforme se aproximam de , tanto quanto tendem a 0, garantindo a continuidade das derivadas parciais em .
Passo 5
Finalmente, vamos confirmar o critério de diferenciabilidade usando o limite do quociente da diferença:
Substituindo :
Para , podemos estimar:
Como quando , o limite é 0.
Passo 6
Agora, vamos analisar a função g(x, y) = 2 y^5x^2+y^2, & se (x, y) neq (0,0); 0, & se (x, y) = (0,0) :
Vamos seguir os mesmos passos para verificar a diferenciabilidade de na origem.
Passo 7
Calculando as derivadas parciais de gx(0,0) = limh to 0 g(h,0) - g(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0 em gy(0,0) = limk to 0 g(0,k) - g(0,0)k = limk to 0 2k^50 + k^2 - 0k = limk to 0 2k^3k = limk to 0 2k^2 = 0 :
Para :
Para :
Passo 8
Verificando a continuidade das derivadas parciais de gx(x, y) = 0 - 2y^5(2x)(x^2+y^2)^2 = -4xy^5(x^2+y^2)^2 próximo a gy(x, y) = 10y^4(x^2+y^2) - 2y^5(2y)(x^2+y^2)^2 = 10y^4x^2 + 10y^6 - 4y^6(x^2+y^2)^2 = 10y^4x^2 + 6y^6(x^2+y^2)^2 :
Para :
À medida que se aproxima de , ambos e tendem a 0, garantindo a continuidade das derivadas parciais em .
Passo 9
Finalmente, aplicamos o critério de diferenciabilidade para lim(x,y) to (0,0) g(x,y) - g(0,0) - gx(0,0)x - gy(0,0)yraizx^2+y^2 = lim(x,y) to (0,0) g(x,y)raizx^2+y^2 :