Mostre que as funções abaixo são diferenciáveis na origem.
f(x, y)=cc x^4x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) ; 0, & se (x, y)=(0,0) g(x, y)=cl 2 y^5x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que duas funções são diferenciáveis na origem. Diferenciabilidade é um conceito da matemática que, de forma simples, diz se uma função tem uma boa aproximação linear perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se as condições necessárias estão presentes para as funções dadas na origem.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função f(x, y) = x^4x^2+y^2, & se (x, y) neq (0,0); 0, & se (x, y) = (0,0) . Ela é definida assim:
Precisamos verificar se é diferenciável em . Para isso, vamos seguir alguns passos:
  1. Existência das Derivadas Parciais: Precisamos calcular as derivadas parciais de em .
  2. Continuidade das Derivadas Parciais: Verificar se as derivadas parciais são contínuas em .
  3. Limite do Quotiente da Diferença: Confirmar que o limite que define a diferenciabilidade existe.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h em f(h,0) = h^4h^2+0 = h^2 .
A derivada parcial de fx(0,0) = limh to 0 h^2 - 0h = limh to 0 h = 0 em relação a fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k é:
f(0,k) = 00 + k^2 = 0
Calculando fy(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0 :
Então:
De forma similar, a derivada parcial em relação a é:
Calculando :
Então:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais fx(x, y) = 4x^3(x^2+y^2) - x^4(2x)(x^2+y^2)^2 = 4x^3x^2 + 4x^3y^2 - 2x^5(x^2+y^2)^2 = 2x^5 + 4x^3y^2(x^2+y^2)^2 e fy(x, y) = 0 - x^4(2y)(x^2+y^2)^2 = -2x^4y(x^2+y^2)^2 , vamos verificar a continuidade dessas derivadas perto de .
Para , as derivadas parciais de são:
Observando esses resultados, vemos que conforme se aproximam de , tanto quanto tendem a 0, garantindo a continuidade das derivadas parciais em .

Passo 5

Finalmente, vamos confirmar o critério de diferenciabilidade usando o limite do quociente da diferença:
lim(x,y) to (0,0) f(x,y) - f(0,0) - fx(0,0)x - fy(0,0)yraizx^2+y^2 = lim(x,y) to (0,0) f(x,y)raizx^2+y^2
Substituindo f(x,y)raizx^2+y^2 = x^4x^2+y^2raizx^2+y^2 = x^4(x^2+y^2)^3/2 :
| x^4(x^2+y^2)^3/2 | <= x^4(x^2)^3/2 = |x|
Para , podemos estimar:
Como quando , o limite é 0.

Passo 6

Agora, vamos analisar a função g(x, y) = 2 y^5x^2+y^2, & se (x, y) neq (0,0); 0, & se (x, y) = (0,0) :
Vamos seguir os mesmos passos para verificar a diferenciabilidade de na origem.

Passo 7

Calculando as derivadas parciais de gx(0,0) = limh to 0 g(h,0) - g(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0 em gy(0,0) = limk to 0 g(0,k) - g(0,0)k = limk to 0 2k^50 + k^2 - 0k = limk to 0 2k^3k = limk to 0 2k^2 = 0 :
Para :
Para :

Passo 8

Verificando a continuidade das derivadas parciais de gx(x, y) = 0 - 2y^5(2x)(x^2+y^2)^2 = -4xy^5(x^2+y^2)^2 próximo a gy(x, y) = 10y^4(x^2+y^2) - 2y^5(2y)(x^2+y^2)^2 = 10y^4x^2 + 10y^6 - 4y^6(x^2+y^2)^2 = 10y^4x^2 + 6y^6(x^2+y^2)^2 :
Para :
À medida que se aproxima de , ambos e tendem a 0, garantindo a continuidade das derivadas parciais em .

Passo 9

Finalmente, aplicamos o critério de diferenciabilidade para lim(x,y) to (0,0) g(x,y) - g(0,0) - gx(0,0)x - gy(0,0)yraizx^2+y^2 = lim(x,y) to (0,0) g(x,y)raizx^2+y^2 :
g(x,y)raizx^2+y^2 = 2 y^5x^2+y^2raizx^2+y^2 = 2 y^5(x^2+y^2)^3/2
Substituindo | 2 y^5(x^2+y^2)^3/2 | <= 2 |y|^5|y|^3 = 2 |y|^2 :
Podemos estimar:
Como quando , o limite é 0.

Resposta

As funções e são diferenciáveis na origem .

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