Questão ( 9 pts ) Calcule o volume da região sólida limitada inferiormente pelo plano
e superiormente pelo gráfico da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o volume de uma região sólida que está abaixo pelo plano
(que é basicamente o chão) e acima pelo gráfico da função
. Vamos usar cálculo de integrais duplas para resolver isso. Basicamente, vamos precisar entender como configurar a integral para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está delimitando a parte de cima da região sólida, que é
. O plano
é onde
. Então, o volume que queremos é a área sob
e acima do plano
.
Passo 3
Para encontrar esse volume, vamos usar uma integral dupla sobre a região
no plano
. A fórmula geral para o volume é:
Aqui,
é um elemento de área no plano
.
Passo 4
Observando a função
, vemos que ela possui simetria circular devido ao termo
. Isso sugere que usar coordenadas polares pode simplificar a nossa integração.
Vamos fazer a mudança para coordenadas polares, onde
e
. Nessa coordenada,
, e o elemento de área
vira
.
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração. A função
deve ser positiva, ou seja:
Portanto,
varia de 0 a
, e
varia de 0 a
para cobrir toda a circunferência.
Agora, montamos a integral em coordenadas polares:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Integrando termo a termo:
Calculando os valores:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume da região sólida é
unidades cúbicas.