2^a Questão ( 9 pts ) Calcule o volume da região sólida limitada inferiormente pelo plano x y e superiormente pelo gráfico da função f(x, y) = 4 - (x^2 + y^2)^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o volume de uma região sólida que está abaixo pelo plano (que é basicamente o chão) e acima pelo gráfico da função . Vamos usar cálculo de integrais duplas para resolver isso. Basicamente, vamos precisar entender como configurar a integral para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está delimitando a parte de cima da região sólida, que é . O plano é onde . Então, o volume que queremos é a área sob e acima do plano .

Passo 3

Para encontrar esse volume, vamos usar uma integral dupla sobre a região no plano . A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é um elemento de área no plano .

Passo 4

Observando a função , vemos que ela possui simetria circular devido ao termo . Isso sugere que usar coordenadas polares pode simplificar a nossa integração.
Vamos fazer a mudança para coordenadas polares, onde e . Nessa coordenada, , e o elemento de área vira .

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração. A função deve ser positiva, ou seja:
Portanto, varia de 0 a , e varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.
Agora, montamos a integral em coordenadas polares:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Integrando termo a termo:
Calculando os valores:
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume da região sólida é unidades cúbicas.

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