Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla definida como
. O conteúdo envolve cálculo de integrais duplas e mudanças na ordem de integração. Para resolver, vamos precisar identificar a região de integração e depois alterar a ordem das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. A integral interna é em relação a
, que varia de
até 2, enquanto a integral externa é em relação a
, que varia de 0 a 4. Isso significa que para cada valor de
entre 0 e 4,
varia de
até 2.
Passo 3
Desenhando no plano cartesiano:
- O limite inferior para
é a linha . - O limite superior para
é a linha vertical . -
varia de 0 a 4.
A linha
passa pela origem e tem inclinação 1/2. A linha
é vertical, cortando o eixo
em 2.
Passo 4
Agora, vamos mudar a ordem de integração. Queremos integrar primeiro em
e depois em
. Para isso, precisamos determinar como
varia para cada
.
Observando a região:
-
varia de 0 a 2. - Para cada
, varia de até (a partir da equação ).
Passo 5
Com os novos limites, a integral fica:
Resposta
A integral com a ordem de integração trocada é
.