Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. integral0^4 integraly / 2^2 f(x, y) d x d y

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla definida como integral0^4 integraly / 2^2 f(x, y) , dx , dy. O conteúdo envolve cálculo de integrais duplas e mudanças na ordem de integração. Para resolver, vamos precisar identificar a região de integração e depois alterar a ordem das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. A integral interna é em relação a x, que varia de y/2 até 2, enquanto a integral externa é em relação a y, que varia de 0 a 4. Isso significa que para cada valor de y entre 0 e 4, x varia de y/2 até 2.

Passo 3

Desenhando no plano cartesiano:
  • O limite inferior para x é a linha x = y/2.
  • O limite superior para x é a linha vertical x = 2.
  • y varia de 0 a 4.
A linha x = y/2 passa pela origem e tem inclinação 1/2. A linha x = 2 é vertical, cortando o eixo x em 2.

Passo 4

Agora, vamos mudar a ordem de integração. Queremos integrar primeiro em y e depois em x. Para isso, precisamos determinar como y varia para cada x.
Observando a região:
  • x varia de 0 a 2.
  • Para cada x, y varia de 0 até 2x (a partir da equação y = 2x).

Passo 5

Com os novos limites, a integral fica:
integral0^2 integral0^2x f(x, y) , dy , dx

Resposta

A integral com a ordem de integração trocada é integral0^2 integral0^2x f(x, y) , dy , dx.

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