Calcule a integral dupla. é a região triangular com vértices .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde é uma região triangular com vértices em , e . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais duplas e como determinar os limites de integração para uma região triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Como os vértices são , e , podemos desenhar o triângulo e identificar as linhas que formam os lados. Precisamos encontrar as equações dessas retas para determinar os limites de integração.
Passo 3
Vamos encontrar as equações das retas que ligam os vértices:
De a :
Slope (coeficiente angular)
Equação:
De a :
Slope
Usando o ponto :
De a :
É uma linha vertical:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando o triângulo:
varia de a .
Para cada , varia de até .
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro: