Calcule a integral dupla. integral duplaD x y d A, D é a região triangular com vértices (0,0) ;(1,2) ;(0,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral integral duplaD x y , dA, onde D é uma região triangular com vértices em (0,0), (1,2) e (0,3). Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais duplas e como determinar os limites de integração para uma região triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. Como os vértices são (0,0), (1,2) e (0,3), podemos desenhar o triângulo e identificar as linhas que formam os lados. Precisamos encontrar as equações dessas retas para determinar os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar as equações das retas que ligam os vértices:
  1. De (0,0) a (1,2):
    • Slope (coeficiente angular) m = 2 - 01 - 0 = 2
    • Equação: y = 2x
  2. De (1,2) a (0,3):
    • Slope m = 3 - 20 - 1 = -1
    • Usando o ponto (1,2): y - 2 = -1(x - 1) Rightarrow y = -x + 3
  3. De (0,0) a (0,3):
    • É uma linha vertical: x = 0

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando o triângulo:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada x, y varia de y = 2x até y = -x + 3.
Então, a integral dupla fica:
integralx=0^1 integraly=2x^-x+3 x y , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a y primeiro:
integral2x^-x+3 x y , dy = x integral2x^-x+3 y , dy
Integrando y:
x [ 12 y^2 ]2x^-x+3 = x ( 12(-x+3)^2 - 12(2x)^2 )

Passo 6

Simplificando a expressão:
x ( 12(x^2 - 6x + 9) - 12(4x^2) ) = x ( 12x^2 - 3x + 92 - 2x^2 ) = x ( -32x^2 - 3x + 92 )

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a x:
integral0^1 ( -32x^3 - 3x^2 + 92x ) dx
Integrando termo a termo:
-32 cdot 14x^4 - 3 cdot 13x^3 + 92 cdot 12x^2 |0^1 = -38x^4 - x^3 + 94x^2 |0^1

Passo 8

Substituindo os limites:
-38(1)^4 - (1)^3 + 94(1)^2 - ( 0 - 0 + 0 ) = -38 - 1 + 94 = -38 - 88 + 188 = 78

Resposta

O valor da integral dupla é 78.

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