Calcule a integral iterada
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral iterada, que basicamente é um tipo de integral onde a gente integra uma função em duas variáveis, uma depois da outra. A função que estamos trabalhando aqui é a seno de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo integral, especialmente a integração em partes e a substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a integral interna, que é em relação a
. Então, queremos calcular:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
. Para facilitar, vamos fazer uma substituição:
Seja
, então
, ou seja,
.
Agora, mudamos os limites de integração conforme a substituição:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral, temos:
A integral de
é
, então:
Passo 3
Agora que resolvemos a integral interna, substituímos de volta na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
Então, integrando de
a
:
Passo 4
Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Resposta
Portanto, o valor final da integral é: