Calcule a integral iterada integralpi / 2^pi integral0^x sen(4 x-y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral iterada, que basicamente é um tipo de integral onde a gente integra uma função em duas variáveis, uma depois da outra. A função que estamos trabalhando aqui é a seno de , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo integral, especialmente a integração em partes e a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral interna, que é em relação a integral0^x sen(4x - y) , dy . Então, queremos calcular:
integral0^x sen(4x - y) , dy = -integral4x^3x sen(u) , du = integral3x^4x sen(u) , du
Aqui, integral3x^4x sen(u) , du = -cos(4x) + cos(3x) = cos(3x) - cos(4x) é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . Para facilitar, vamos fazer uma substituição:
Seja , então , ou seja, .
Agora, mudamos os limites de integração conforme a substituição:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral, temos:
A integral de é , então:

Passo 3

Agora que resolvemos a integral interna, substituímos de volta na integral externa:
integralpi / 2^pi [ cos(3x) - cos(4x) ] , dx
Vamos integrar termo a termo:
  1. [ 13 sen(3x) - 14 sen(4x) ]pi/2^pi
Então, integrando de a :

Passo 4

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para 13 cdot 0 - 14 cdot 0 = 0 :
  • 13 cdot (-1) - 14 cdot 0 = -13
Então:
Para :
Então:

Resposta

Portanto, o valor final da integral é:
-13

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